如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为M(2,-3),且经过点A(0,1),直线y=x+1与抛物线交于A点和B点.(1)求这条抛物线的解析

如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为M(2,-3),且经过点A(0,1),直线y=x+1与抛物线交于A点和B点.(1)求这条抛物线的解析

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如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为M(2,-3),且经过点A(0,1),直线y=x+1与抛物线交于A点和B点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求△ABM的面积;
(3)如图②,点P是x轴上的一动点,请探索:
①过点P作PQAB,交BM于点Q,连接AQ,AP,当△APQ的面积最大时,求P的坐标.
②是否存在点P,使得△PAB是直角三角形?若存在,求出所有的点P坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为M(2,-3),
∴设y=a(x-2)2-3,将点A(0,1)代入得,
1=4a-3,
∴a=1
∴y=(x-2)2-3;

(2)当y=0时,0=x+1,
∴x=-1,∴D(-1,0)
把y=x+1代入y=(x-2)2-3,得
x+1=(x-2)2-3

解得:x1=0,x2=5,
如图1,过点M作MNy轴交AB于点N,过点A作AF⊥MN于点F,过点B作BE⊥MN与点E,
当x=2时,y=x+1=3,
∴MN=6,
∴S△ABM=S△AMN+S△BMN=
MN×AF
2
+
MN×BE
2
=
1
2
×6×5=15;

(3)①,
∵B(5,6),A(-1,0)
∴BD=6


2

设MB所在直线的解析式为y=kx+b,
把点B,点M则:





6=5k+b
-3=2k+b






k=3
b=-9

∴MB所在直线的解析式为:y=3x-9,
∴N(3,0),
∴ND=3-(-1)=4
设P(x,0),则PN=3-x
∵PQAB,
∴△NQP△NBD,
PQ
BD
=
PN
DN

PQ
6


2
=
3-x
4

∴PQ=
3


2
(3-x)
2

如图2,过点P作PC⊥AB于点C,
∵直线y=x+1交x轴于点(-1,0),
∴∠ADO=45°,
∴Rt△PCD为等腰Rt△,
CP=


2
2
DP=


2
2
(x+1)

∴△APQ的面积=
1
2
×
3


2
(3-x)
2
×


2
2
(x+1)=-
3
4
(x2-2x-3)=-
3
4
(x-1)2+3,
∴x=1时,S的值最大,
此时点P(1,0);
②分三种情况讨论:
Ⅰ.当∠BAP=90°,如图3,
∵∠DAP=∠HDB,∠BHD=∠DAP,
∴△DAP△DHB,
DP
DB
=
DA
DH

DP
6


2
=


2
6

∴解得:DP=2,
∴OP=1,
∴P1(1,0),

Ⅱ.当∠APB=90°时,如图4,
∵∠APO+∠BPH=90°,∠APO+∠OAP=90°,
∴∠OAP=∠BPH,
∵∠AOP=∠PHB=90°,
∴△AOP△PHB,
AO
PH
=
PO
BH

1
5-OP
=
OP
6

解得:OP=2或3,
∴P2(2,0),P3(3,0),

Ⅲ.当∠ABP=90°时,如图5,
∵∠BDP=∠ODA,∠DBP=∠AOD=90°,
∴△AOD△PBD,
OD
BD
=
AD
PD

1
6


2
=


2
PD

解得:PD=12,
∴OP=11,
P4(11,0),
综上所述:P点坐标为:(1,0),(2,0),(3,0),(11,0).
举一反三
今年我国多个省市遭受严重干旱,受旱灾的影响,4月份,我市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表:
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周数x1234
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②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.
小明代表班级参加校运会的铅球项目,他想:“怎样才能将铅球推得更远呢”,于是找来小刚做了如下的探索:小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下,分别沿与水平线成30°、45°、60°方向推了三次.铅球推出后沿抛物线形运动.如图,小明推铅球时的出手点距地面2m,以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系,分别得到的有关数据如下表:
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