(1)∵抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧), ∴当y=0时,(x-3)(x+1)=0, 解得x=3或-1, ∴点B的坐标为(3,0). ∵y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴顶点D的坐标为(1,-4);
(2)①如右图. ∵抛物线y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3与与y轴交于点C, ∴C点坐标为(0,-3). ∵对称轴为直线x=1, ∴点E的坐标为(1,0). 连接BC,过点C作CH⊥DE于H,则H点坐标为(1,-3), ∴CH=DH=1, ∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°, ∴CD=,CB=3,△BCD为直角三角形. 分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R. ∵∠BDE=∠DCP=∠QCR, ∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP, ∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP, ∴∠CDB=∠QCO, ∴△BCD∽△QOC, ∴==, ∴OQ=3OC=9,即Q(-9,0). ∴直线CQ的解析式为y=-x-3, 直线BD的解析式为y=2x-6. 由方程组,解得. ∴点P的坐标为(,-);
②(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时. 若点N在射线CD上,如备用图1,延长MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G. ∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°, ∴△MCN∽△DBE, ∴==, ∴MN=2CN. 设CN=a,则MN=2a. ∵∠CDE=∠DCF=45°, ∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形, ∴NF=CN=a,CF=a, ∴MF=MN+NF=3a, ∴MG=FG=a, ∴CG=FG-FC=a, ∴M(a,-3+a). 代入抛物线y=(x-3)(x+1),解得a=, ∴M(,-); 若点N在射线DC上,如备用图2,MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G. ∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°, ∴△MCN∽△DBE, ∴==, ∴MN=2CN. 设CN=a,则MN=2a. ∵∠CDE=45°, ∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形, ∴NF=CN=a,CF=a, ∴MF=MN-NF=a, ∴MG=FG=a, ∴CG=FG+FC=a, ∴M(a,-3+a). 代入抛物线y=(x-3)(x+1),解得a=5, ∴M(5,12); (Ⅱ)当点M在对称轴左侧时. ∵∠CMN=∠BDE<45°, ∴∠MCN>45°, 而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°, ∴点M不存在. 综上可知,点M坐标为(,-)或(5,12). |