已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点在直线y=-12x-1上,且过点A(4,0).(1)求这个抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在

已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点在直线y=-12x-1上,且过点A(4,0).(1)求这个抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在

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已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点在直线y=-
1
2
x-1
上,且过点A(4,0).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使|AD-CD|的值最大,请直接写出点D的坐标.
答案
(1)∵抛物线过点(0,0)、(4,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=2.(1分)
∵顶点在直线y=-
1
2
x-1
上,
∴顶点坐标为(2,-2).(3分)
故设抛物线解析式为y=a(x-2)2-2,
∵过点(0,0),
a=
1
2

∴抛物线解析式为y=
1
2
x2-2x
;(5分)

(2)当APOB时,
如图,∠BOA=∠OAP=45°,过点B作BH⊥x轴于H,则OH=BH.
设点B(x,x),
x=
1
2
x2-2x

解得x=6或x=0(舍去)(6分)
∴B(6,6).(7分)
当OPAB′时,同理设点B′(4-y,y)
y=
1
2
(4-y)2-2(4-y)

解得y=6或y=0(舍去),
∴B′(-2,6);(8分)
∴B的坐标为(6,6)或(-2,6).

(3)D坐标应是(2,-6).(10分)
举一反三
如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MNAB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)求四边形MEFN面积的最大值;
(3)试判断四边形MEFN能否为正方形?若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.
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如图所示是二次函数y=-x2+4x图象上的一段,其中0≤x≤4、若矩形ABCD的两个顶点A,B落在x轴上,另外两个顶点C,D落在函数图象上,则矩形ABCD的周长能否恰好为8?若能,请求出C,D两点坐标;若不能,请说明理由.
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某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)存在一次函数关系:y=-x+120.
(1)若商场要想获得800元的利润,则销售单价应是多少元?
(2)若设该商场获得利润为W元,当销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
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抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,-3),B(3,-3),C(-1,5),顶点为M点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)试判断抛物线上是否存在一点P,使∠POM=90°.若不存在,说明理由;若存在,求出P点的坐标.
(3)试判断抛物线上是否存在一点K,使∠OMK=90°,若不存在,说明理由;若存在,求出K点的坐标.
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如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20米,顶点M距水面6米(即MO=6米),小孔顶点N距水面4.5米(即NC=4.5米).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.
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