如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3.M是边AB上的动点(M不与A,B重合),MN∥BC交AC于点N,△AMN关于MN的对称图形是△PMN.设

如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3.M是边AB上的动点(M不与A,B重合),MN∥BC交AC于点N,△AMN关于MN的对称图形是△PMN.设

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如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3.M是边AB上的动点(M不与A,B重合),MNBC交AC于点N,△AMN关于MN的对称图形是△PMN.设AM=x.
(1)用含x的式子表示△AMN的面积(不必写出过程);
(2)当x为何值时,点P恰好落在边BC上;
(3)在动点M的运动过程中,记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式;并求x为何值时,重叠部分的面积最大,最大面积是多少?
答案
(1)S△AMN=
3
8
x2(3);

(2)如图2,由轴对称性质知:AM=PM,∠AMN=∠PMN,(4分)
又MNBC,∴∠PMN=∠BPM,∠AMN=∠B,(5)
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM(6分)
∴点M是AB中点,即当x=
1
2
AB=2时,点P恰好落在边BC上.(7分)

(3)(i)以下分两种情况讨论:
①当0<x≤2时,易见y=
3
8
x2(8分)
②当2<x<4时,如图3,设PM,PN分别交BC于E,F
由(2)知ME=MB=4-x,
∴PE=PM-ME=x-(4-x)=2x-4
由题意知△PEF△ABC,
(
PE
AB
)2=
S△PEF
S△ABC

S△PEF=
3
2
(x-2)2

y=S△PMN-S△PEF=
3
8
x2-
3
2
(x-2)2=-
9
8
x2+6x-6

∴y=





3
8
x2(0<x≤2)
-
9
8
x2+6x-6(2<x<4)

(ii)∵当0<x≤2时,y=
3
8
x2
∴易知y最大=
3
8
×22=
3
2
(11分)
又∵当2<x<4时,y=-
9
8
x2+6x-6=-
9
8
(x-
8
3
2+2.
∴当x=
8
3
时(符合2<x<4),y最大=2,(12分)
综上所述,当x=
8
3
时,重叠部分的面积最大,其值为2.(13分)
举一反三
已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点在直线y=-
1
2
x-1
上,且过点A(4,0).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使|AD-CD|的值最大,请直接写出点D的坐标.
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如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MNAB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)求四边形MEFN面积的最大值;
(3)试判断四边形MEFN能否为正方形?若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.
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如图所示是二次函数y=-x2+4x图象上的一段,其中0≤x≤4、若矩形ABCD的两个顶点A,B落在x轴上,另外两个顶点C,D落在函数图象上,则矩形ABCD的周长能否恰好为8?若能,请求出C,D两点坐标;若不能,请说明理由.
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某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)存在一次函数关系:y=-x+120.
(1)若商场要想获得800元的利润,则销售单价应是多少元?
(2)若设该商场获得利润为W元,当销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
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抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,-3),B(3,-3),C(-1,5),顶点为M点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)试判断抛物线上是否存在一点P,使∠POM=90°.若不存在,说明理由;若存在,求出P点的坐标.
(3)试判断抛物线上是否存在一点K,使∠OMK=90°,若不存在,说明理由;若存在,求出K点的坐标.
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