(1)∵该抛物线过点C(0,-2), ∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2. 将A(4,0),B(1,0)代入y=ax2+bx-2, 得, 解得:. ∴该抛物线的解析式为y=-x2+x-2.
(2)存在. 如图1,设D点的横坐标为t(0<t<4),则D点的纵坐标为-t2+t-2. 过D作y轴的平行线交AC于E. 设直线AC的解析式为:y=mx+n, 则, 解得:, 由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2. ∴E点的坐标为(t,t-2). ∴DE=-t2+t-2-(t-2)=-t2+2t. ∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×(-t2+2t)×4=-t2+4t=-(t-2)2+4. ∴当t=2时,S最大=4. ∴当D(2,1),△DAC面积的最大值为4.
(3)存在. 如图2,设P(m,-m2+m-2),则m>1. Ⅰ.当1<m<4时, 则AM=4-m,PM=-m2+m-2. 又∵∠COA=∠PMA=90°, ∴①当==时,△APM∽△ACO. ∴4-m=2(-m2+m-2),解得m1=2,m2=4(舍去). ∴P1(2,1). ②当==时,△APM∽△CAO. ∴2(4-m)=-m2+m-2,解得m3=4,m4=5(均不合题意,舍去). ∴当1<m<4时,P1(2,1). Ⅱ.当m>4时,同理可求P2(5,-2). 综上所述,符合条件的点P为P1(2,1)和P2(5,-2). |