试题分析:(1)由抛物线方程求出焦点坐标,再由中点坐标公式求得FA的中点,由中点在抛物线上求得p的值; (2)联立直线方程和抛物线方程,由直线和抛物线相切求得切点坐标,进一步求得Q的坐标(用含k的代数式表示),求得PQ的中点C的坐标,求出圆心到x轴的距离,求出,由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系; (3)法一、假设平面内存在定点M满足条件,设出M的坐标,结合(2)中求得的P,Q的坐标,求出向量 的坐标,由恒成立求解点M的坐标. (1)利用抛物线的定义得,故线段的中点的坐标为,代入方程得,解得. (2)由(1)得抛物线的方程为,从而抛物线的准线方程为 由得方程, 由直线与抛物线相切,得 且,从而,即, 由,解得, ∴的中点的坐标为 圆心到轴距离, ∵ 所圆与轴总有公共点. (3)假设平面内存在定点满足条件,由抛物线对称性知点在轴上,设点坐标为, 由(2)知, ∴ 。 由得, 所以,即或 所以平面上存在定点,使得圆恒过点. |