(1)解法一:∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,-4), ∴c=-4 又∵由题意可知,x1、x2是方程-x2+bx+c=0的两个根, ∴x1+x2=b,x1x2=-c 由已知得(x2-x1)2=25 又∵(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2 =b2-24 ∴b2-24=25 解得b=± 当b=时,抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上,不合题意,舍去. ∴b=-. 解法二:∵x1、x2是方程-x2+bx+c=0的两个根, 即方程2x2-3bx+12=0的两个根. ∴x=, ∴x2-x1==5, 解得b=± 当b=时,抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上,不合题意,舍去. ∴b=-.
(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质,点D必在抛物线的对称轴上, 又∵y=-x2-x-4=-(x+)2+ ∴抛物线的顶点(-,)即为所求的点D.
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,点B的坐标为(-6,0),根据菱形的性质,点P必是直线x=-3与 抛物线y=-x2-x-4的交点, ∴当x=-3时,y=-×(-3)2-×(-3)-4=4, ∴在抛物线上存在一点P(-3,4),使得四边形BPOH为菱形. 四边形BPOH不能成为正方形,因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是(-3,3),但这一点不在抛物线上. |