已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n.(1)求抛物线的解析式;(2)设

已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n.(1)求抛物线的解析式;(2)设

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已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C、D点的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,交抛物线于点H,若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分,求P点的坐标.
答案
(1)解方程x2-6x+5=0,
得x1=5,x2=1,
由m<n,知m=1,n=5,
∴A(1,0),B(0,5),(1分)





-1+b+c=0
c=5






b=-4
c=5

所求抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.(3分)

(2)由-x2-4x+5=0,
得x1=-5,x2=1,
故C的坐标为(-5,0),(4分)
由顶点坐标公式,得D(-2,9);(5分)
过D作DE⊥x轴于E,易得E(-2,0),
∴S△BCD=S△CDE+S梯形OBDE-S△OBC=
1
2
×3×9+
5+9
2
×2-
1
2
×5×5
=15.(7分)
(注:延长DB交x轴于F,由S△BCD=S△CFD-S△CFB也可求得)

(3)设P(a,0),则H(a,-a2-4a+5);
直线BC把△PCH分成面积相等的两部分,须且只须BC等分线段PH,亦即PH的中点,
a,
-a2-4a+5
2
)在直线BC上,(8分)
易得直线BC方程为:y=x+5;
-a2-4a+5
2
=a+5

解之得a1=-1,a2=-5(舍去),
故所求P点坐标为(-1,0).(10分)
举一反三
已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,0),且与直线l:y=x+m交y轴于同一点B(0,1),与直线l交于另一点A,D为抛物线的对称轴与直线l的交点,P为线段AB上的一动点(不与点A、B重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点E.
(1)求抛物线和直线l的函数解析式,及另一交点A的坐标;
(2)求△ABE的最大面积是多少?
(3)问是否存在这样的点P,使四边形PECD为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,Rt△AOB的两直角边OA、OB的长分别是1和3,将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°,至△DOC的位置.
(1)求过C、B、A三点的二次函数的解析式;
(2)若(1)中抛物线的顶点是M,判定△MDC的形状,并说明理由.
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世纪广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1米的喷水管,喷水最高点A离地面为3米.此时A点离喷水口水平距离为
1
2
米,在如图所示直角坐标系中,这支喷泉的函数关系式是______.(不要求指出自变量x的取值范围).
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已知等边三角形的边长为x(cm),则此三角形的面积S(cm2)关于x的函数关系式是______.
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在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
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