(1)∵点B与O(0,0)关于x=3对称, ∴点B坐标为(6,0). 将点B坐标代入y=ax2+2x得: 36a+12=0; ∴a=-. ∴抛物线解析式为y=-x2+2x.(2分) 当x=3时,y=-×32+2×3=3; ∴顶点A坐标为(3,3).(3分) (说明:可用对称轴为x=-,求a值,用顶点式求顶点A坐标)
(2)设直线AB解析式为y=kx+b. ∵A(3,3),B(6,0), ∴ 解得, ∴y=-x+6. ∵直线l∥AB且过点O, ∴直线l解析式为y=-x. ∵点P是l上一动点且横坐标为t, ∴点P坐标为(t,-t).(4分) 当P在第四象限时(t>0), S=S△AOB+S△OBP =×6×3+×6×|-t| =9+3t. ∵0<S≤18, ∴0<9+3t≤18, ∴-3<t≤3. 又∵t>0, ∴0<t≤3.(5分) 当P在第二象限时(t<0), 作PM⊥x轴于M,设对称轴与x轴交点为N, 则S=S梯形ANMP+S△ANB-S△PMO =[3+(-t)]•(3-t)+×3×3-(-t)(-t) =(t-3)2+-t2 =-3t+9; ∵0<S≤18, ∴0<-3t+9≤18, ∴-3≤t<3; 又∵t<0, ∴-3≤t<0;(6分) ∴t的取值范围是-3≤t<0或0<t≤3.
(3)存在,点Q坐标为(3,3)或(6,0)或(-3,-9).(9分) 由(2)知t的最大值为3,则P(3,-3); 过O、P作直线m、n垂直于直线l; ∵直线l的解析式为y=-x, ∴直线m的解析式为y=x; 可设直线n的解析式为y=x+h,则有: 3+h=-3,h=-6; ∴直线n:y=x-6; 联立直线m与抛物线的解析式有: , 解得,; ∴Q1(3,3); 同理可联立直线n与抛物线的解析式,求得Q2(6,0),Q3(-3,-9). (说明:点Q坐标答对一个给1分) |