(1)设长方形零件PQMN的边PN=a,PQ=x,则AE=80-x. ∵PN∥BC, ∴△APN∽△ABC. ∴=. 因此,=.(1分) 解得a=120-x.(2分) 所以长方形PQMN的面积S=xa=x(120-x)=-x2+120x.(3分) 当x=-=40时,a=60.(4分) S最大值=40×60=2400(mm2). 所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.(5分)
(2)∵S△ABC-2S最大值=×120×80-2×2400=0, ∴从理论上说,恰能拼成一个与长方形PQMN大小一样的长方形. 拼法:作△ABC的中位线PN,分别过P,N作BC的 垂线,垂足分别为Q,M,过A作BC的平行线,交QP,MN的延长线于G,H,易知△PBQ≌△PAG,△NMC≌△NHA, 所以将△PBQ,△NMC剪下拼接到△PAG,△NHA的位置, 即得四边形PNHG,此四边形即为长方形零件PQMN面积最大时大小一样的长方形. (注:拼法描述正确得(2分),画图正确得(1分).)
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