如图,矩形OABC的长OA=3,宽OC=1,将△AOC沿AC翻折得△APC,可得下列结论:①∠PCB=30°;②点P的坐标是(32,32);③若P、C两点在抛物
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如图,矩形OABC的长OA=3,宽OC=1,将△AOC沿AC翻折得△APC,可得下列结论:①∠PCB=30°;②点P的坐标是(32,32);③若P、C两点在抛物
题型:不详
难度:
来源:
如图,矩形OABC的长OA=
3
,宽OC=1,将△AOC沿AC翻折得△APC,可得下列结论:①∠PCB=30°;②点P的坐标是(
3
2
,
3
2
);③若P、C两点在抛物线
y=-
4
3
x
2
+bx+c
上,则b的值是
-
3
,c的值是1;④在③中的抛物线CP段(不包括C、P两点)上,存在一点Q,使四边形QCAP的面积最大,最大值为
9
3
16
.其中正确的有( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
在Rt△OAC中,OA=
3
,OC=1,则∠OAC=30°,∠OCA=60°;
根据折叠的性质知:OA=AP=
3
,∠ACO=∠ACP=60°;
①∵∠BCA=∠OAC=30°,且∠ACP=60°,
∴∠PCB=30°,故①正确;
②过P作PD⊥OA于D;
Rt△PAD中,∠PAD=60°,AP=
3
;
∴OD=AD=
3
2
,PD=
3
2
,
所以P(
3
2
,
3
2
),故②正确;
③将P、C代入抛物线的解析式中,得:
-1+
3
2
b+c=
3
2
c=1
,
解得
b=
3
c=1
;
故③错误;
④过Q作QM
∥
y轴,交CP于M;
由③知y=-
4
3
x
2
+
3
x+1,
由P(
3
2
,
3
2
),C(0,1)易求得直线PC:y=
3
3
x+1;
设M(a,
3
3
a+1),
则Q(a,-
4
3
a
2
+
3
a+1),则:
QM=-
4
3
a
2
+
3
a+1-(
3
3
a+1)=-
4
3
a
2
+
2
3
3
a,
故S
△QPC
=
1
2
QM•|x
P
|=
1
2
×(-
4
3
a
2
+
2
3
3
a)×
3
2
=-
3
3
a2+
1
2
a,
由于S
△APC
=S
△AOC
=
3
2
,
故四边形QCAP的面积S=S
△QPC
+S
△APC
=-
3
3
a
2
+
1
2
a+
3
2
,
则Smax=
4×(-
3
3
)×
3
2
-
1
4
4×(-
3
3
)
=
9
3
16
;
故④正确;
所以正确的结论为①②④.
故选B.
举一反三
如图1,在平面直角坐标系中,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上.现将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上(如图2),设抛物线y=ax
2
+bx+c(a<0),如果抛物线同时经过点O、B、C:
①当n=3时a=______;
②a关于n的关系式是______.
题型:不详
难度:
|
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将10cm长的线段分成两部分,一部分作为正方形的一边,另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边,求这个正方形和等腰直角三角形面积之和的最小值.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果将二次函数y=x
2
+8x-
39
4
的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上的整点个数有______个.
题型:不详
难度:
|
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已知:如图,平面直角坐标系中,四边形OABC是直角梯形,AB
∥
OC,OA=5,AB=10,OC=12,抛物线y=ax
2
+bx经过点B、C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)一动点P从点A出发,沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PQC是直角三角形?
(3)点M在抛物线上,点N在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M与点N,使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是( )
A.y=
2
25
x
2
B.y=
4
25
x
2
C.y=
2
5
x
2
D.y=
4
5
x
2
题型:不详
难度:
|
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