(1)∵OA=5,AB=10,OC=12, ∴点B(10,5),C(12,0), ∴, 解得, ∴抛物线的函数表达式为y=-x2+3x;
(2)根据勾股定理,AC===13, ∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动,点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动, ∴点P运动的时间为:13÷2=6.5秒, CP=AC-AP=13-2t,CQ=t, ∵∠ACO≠90°, ∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论: ①∠PQC=90°时,cos∠ACO==, 即=, 解得t=, ②∠CPQ=90°时,cos∠ACO==, 即=, 解得t=, 综上所述,t为秒或秒时,△PQC是直角三角形;
(3)抛物线对称轴为直线x=-=-=6, ①AC是平行四边形的边时,(i)若点M在对称轴左边, ∵OC=12, ∴点M的横坐标为:6-12=-6, 代入抛物线解析式得,y=-×(-6)2+3×(-6)=-27, 此时点M的坐标为(-6,-27), ∵OA=5, ∴点N的纵坐标为:-27-5=-32, ∴点N的坐标为(6,-32); (ii)若点M在对称轴右边,∵OC=12, ∴点M的横坐标为:6+12=18, 代入抛物线解析式得,y=-×182+3×18=-27, 此时点M的坐标为(18,-27), ∵OA=5, ∴点N的纵坐标为:-27+5=-22, ∴点N的坐标为(6,-22); ②AC是对角线时,∵点P是AC的中点,点N在对称轴上, ∴点M也在抛物线对称轴上, ∴点M为抛物线的顶点, ∵y=-x2+3x=-(x-12x+36)2+9=-(x-6)2+9, ∴M(6,9), ∵OA=5,OC=12,点P在对称轴上, ∴点P的坐标为(6,), ∴点N的纵坐标为:2×-9=-4, ∴点N(6,-4); 综上所述,M(-6,-27)、N(6,-32)或M(18,-27)、N(6,-22)或M(6,9)、N(6,-4)时,以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形. |