如图，关于x的二次函数y=x2-2mx-m-2的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于C点（1）当m为何值时，AC=BC

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如图，关于x的二次函数y=x²-2mx-m-2的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点

（x₁＜0＜x₂），与y轴交于C点
（1）当m为何值时，AC=BC；
（2）当∠BAC=∠BCO时，求这个二次函数的表达式．

答案

（1）要使AC=BC，则该抛物线的对称轴应是y轴，
则有-

-2m

2×1

=0，即m=0，
∴当m=0时，AC=BC．

（2）当∠BAC=∠BCO，有Rt△AOC∽Rt△COB，则

，
即OC²=OA•OB，
由题意，知OC=|-m-2|，OA=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂
由根与系数关系，得x₁x₂=-m-2，
∴OA•OB=-x₁x₂=m+2
则|-m-2|²=m+2，
解，得m=-2或m=-1．
当m=-2时，二次函数为y=x²+4x，此时x₁=-4，x₂=0，不合题意，舍去．
当m=-1时，二次函数为y=x²+2x-1，此时x₁=-1-

，x₂=-1+

，符合题意．
∴当∠BAC=∠BCO时，这个二次函数的表达式为y=x²+2x-1．

举一反三

宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列．1996---2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿．宁波市区年GDPy（亿元）与建设

用地总量x（万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y关于x的函数关系式．
（2）据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区可以新增GDP多少亿元？
（3）按以上函数关系式，我市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（精确到0.001万亩）．

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如图，在平面直角坐标系中Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0），B（0，2）抛物线y=ax²+ax-2经过点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ为正方形？若存在，求点P、Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

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如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=

，把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE．
（1）若过原点的抛物线y=ax²+bx+c经过点B、E，求此抛物线的解析式；
（2）若点P在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点P的坐标；
（3）若点M（-4，n）在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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已知抛物线y=x²+bx-a²．
（1）请你选定a、b适当的值，然后写出这条抛物线与坐标轴的三个交点，并画出过三个交点的圆；
（2）试讨论此抛物线与坐标轴交点分别是1个，2个，3个时，a、b的取值范围，并且求出交点坐标．

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如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且

抛物线对称轴为直线x=-3．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）己知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=

DF，求出此时点M的坐标；
（3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为-4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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