(1)C点的坐标为(0,2);理由如下: 如图,连接AC,CB.依相交弦定理的推论可得OC2=OA•OB, 解得OC=2. 故C点的坐标为(0,2).
(2)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4). 把点C(0,2)的坐标代入上式得a=-. ∴抛物线解析式是y=-x2+x+2.
(3)如图,过点C作CD∥OB,交抛物线于点D,则四边形BOCD为直角梯形. 由(2)知抛物线的对称轴是x=, ∴点D的坐标为(3,2). 设过点B,点D的解析式是y=kx+b. 把点B(4,0),点D(3,2)的坐标代入上式得 解之得 ∴直线BD的解析式是y=-2x+8.
(4)依题意可知,以MN为直径的半圆与线段AB相切于点P. 设点M的坐标为(m,n). ①当点M在第一或第三象限时,m=2n. 把点M的坐标(2n,n)代入抛物线的解析式得n2-n-1=0, 解之得n=. ∴点M的坐标是(1+,)或(1-,). ②当点M在第二或第四象限时,m=-2n. 把点M的坐标(-2n,n)代入抛物线的解析式得n2+2n-1=0, 解之得n=-1±. ∴点M的坐标是(2-2,-1+)或(2+2,-1-). 综上,满足条件的点M的坐标是(1+,),(1-,), (2-2,-1+),(2+2,-1-).
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