(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D, ∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°, ∴∠BCD=∠CAO,(1分) 又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC, ∴△BCD≌△CAO,(2分) ∴BD=OC=1,CD=OA=2,(3分) ∴点B的坐标为(-3,1);(4分)
(2)抛物线y=ax2+ax-2经过点B(-3,1), 则得到1=9a-3a-2,(5分) 解得a=, 所以抛物线的解析式为y=x2+x-2;(7分)
(3)假设存在点P,使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形: ①若以点C为直角顶点; 则延长BC至点P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,(8分) 过点P1作P1M⊥x轴, ∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°, ∴△MP1C≌△DBC.(10分) ∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1(1,-1);(11分) ②若以点A为直角顶点; 则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,(12分) 过点P2作P2N⊥y轴,同理可证△AP2N≌△CAO,(13分) ∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(2,1),(14分) ③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况.即过点A作直线L⊥AC,在直线L上截取AP=AC时,点P可能在y轴右侧,即现在解答情况②的点P2; 点P也可能在y轴左侧,即还有第③种情况的点P3.因此,然后过P3作P3G⊥y轴于G,同理:△AGP3≌△CAO, ∴GP3=OA=2,AG=OC=1, ∴P3为(-2,3); 经检验,点P1(1,-1)与点P2(2,1)都在抛物线y=x2+x-2上,点P3(-2,3)不在抛物线上.(16分)
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