如图,将OA=8,AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M,N以每秒1个单位的速度分别从点A,C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终
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如图,将OA=8,AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M,N以每秒1个单位的速度分别从点A,C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终
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如图,将OA=8,AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M,N以每秒1个单位的速度分别从点A,C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为______;用含t的式子表示点P的坐标为______;
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<8),并求当t为何值时,S有最大值?若有,求出这个最大值;
(3)试探究:在上述运动过程中,是否存在某一个时刻,△OPM是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)延长NP到OA于一点G,
∵NP⊥BC,
∴PG⊥AO,
∵OA=8,AB=6,
∴
PG
GO
=
AB
AO
=
6
8
=
3
4
,
∵CN=t,
∴PG=
3
4
t,
∴B(8,6),P(t,
3
4
t
);
(2)∵PG=
3
4
t,OM=8-t,
∴
S=
1
2
(8-t)×
3
4
t=-
3
8
t
2
+3t
(0<t<8),
当t=4时,S有最大值,最大值为6.
(3)当OP=PM时,有8-t=2t,
解得:
t=
8
3
,∴M(
16
3
,0);
当OP=OM时,有
8-t=
5
4
t
,
解得:
t=
32
9
,∴M(
40
9
,0);
当OM=PM时,有
2×
4
5
(8-t)=
5
4
t
,
解得:
t=
256
57
,∴M(
200
57
,0).
综上所述,M的坐标为(
16
3
,0)或(
40
9
,0)或(
200
57
,0).
举一反三
已知抛物线的顶点坐标为
(
5
2
,-
27
16
)
,且经过点C(1,0),若此抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴的交点为点A,设P、Q分别为AB、OB边上的动点,它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为每秒1个单位,设P、Q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)求此抛物线的解析式并求出P点的坐标(用t表示);
(2)当△OPQ面积最大时求△OBP的面积;
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)△OPQ是否可能为等边三角形?若可能请求出t的值;若不可能请说明理由,并改变点Q的运动速度,使△OPQ为等边三角形,求出此时Q点运动的速度和此时t的值.
题型:不详
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如图,抛物线y=x
2
-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
题型:不详
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(6999•重庆)如的,二次函数y=9
6
+29+c的的象与9轴只有一个公共点P,与y轴的交点为Q.过点Q的直线y=69+m与9轴交于点A,与这个二次函数的的象交于另一点2,若S
△2PQ
=3S
△APQ
,求这个二次函数的解析式.
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(如005•宁波)已知抛物线y=-x
如
-如kx+rk
如
(k>0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,以AB为直径的⊙E交y轴于点y、着(如图),且y着=0,G是劣弧Ay上的动点(不与点A、y重合),直线CG交x轴于点P.
(1)求抛物线的解析式;
(如)当直线CG是⊙E的切线时,求ca左∠PC右的值;
(r)当直线CG是⊙E的割线时,作GM⊥AB,垂足为y,交P着于点M,交⊙E于另一点左,设M左=c,GM=u,求u关于c的函数关系式.
题型:不详
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有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16米,跨度为40米,现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中,则此抛物线的解析式为______.
题型:不详
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