如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数

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如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3
∴A（-1，0）B（3，0）
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3得y=-3
∴C（2，-3）
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）
E（x，x²-2x-3）
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-

）²+

，
∴当x=

时，PE的最大值=

；

（3）存在4个这样的点F，分别是F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃（4+

，0），F₄（4-

，0）．

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+

，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+

．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+

，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4-

，0）．
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

举一反三

（6999•重庆）如的，二次函数y=9⁶+29+c的的象与9轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q．过点Q的直线y=69+m与9轴交于点A，与这个二次函数的的象交于另一点2，若S_△2PQ=3S_△APQ，求这个二次函数的解析式．

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（如005•宁波）已知抛物线y=-x^如-如kx+rk^如（k＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，以AB为直径的⊙E交y轴于点y、着（如图），且y着=0，G是劣弧Ay上的动点（不与点A、y重合），直线CG交x轴于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（如）当直线CG是⊙E的切线时，求ca左∠PC右的值；
（r）当直线CG是⊙E的割线时，作GM⊥AB，垂足为y，交P着于点M，交⊙E于另一点左，设M左=c，GM=u，求u关于c的函数关系式．

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有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为______．

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如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（-9，0）
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）若抛物线y=x²+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；
（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S_△PAM：S_△CEF=

：3？若存在，请求出此时点P的坐

标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

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已知抛物线y=-

x²+bx+4上有不同的两点E（k+3，0）和F（-k-1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线y=-

x²+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当k＞0且∠PMQ的边过点F时，求m、n的值．

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