如图,在直角坐标系中,以点M(3,0)为圆心,以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A,交x轴的负半轴交于点B,交y轴的正半轴于点C,过点C的直线交x轴的负半轴于

如图,在直角坐标系中,以点M(3,0)为圆心,以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A,交x轴的负半轴交于点B,交y轴的正半轴于点C,过点C的直线交x轴的负半轴于

题型:不详难度:来源:
如图,在直角坐标系中,以点M(3,0)为圆心,以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A,交x轴的负半轴交于点B,交y轴的正半轴于点C,过点C的直线交x轴的负半轴于点D(-9,0)
(1)求A,C两点的坐标;
(2)求证:直线CD是⊙M的切线;
(3)若抛物线y=x2+bx+c经过M,A两点,求此抛物线的解析式;
(4)连接AC,若(3)中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E,与AC交于点F.如果点P是抛物线上的动点,是否存在这样的点P,使得S△PAM:S△CEF=


3
:3?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)
答案
(1)连接CM,由题意得:OM=3,OB=3,OE=9,MC=6
OA=OM+MA=3+6=9
A(9,0)
∵OC=


MC2-OM2
=3


3

∴C(0,3


3


(2)证法一:
在Rt△DCO中,∵DC=


DO2+CO2
=6


3

在△DCM中,∵CM2+DC2=144
DM2=(DO+OM)2=(9+3)2=122=144
∴CM2+DC2=DM2
∴△DCM直角三角形.
∴MC⊥DC,而MC是⊙M的半径
∴CD是⊙M的切线.
证法二:
在Rt△COM中,∵sin∠MCO=
OM
CM
=
1
2

∴∠MCO=30°
在Rt△DOC中,∵tan∠DCO=
DO
CO
=
9
3


3
=


3

∴∠DCO=60°
∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°
∴MC⊥DC,而MC中的⊙M半径.

(3)由抛物线y=x2+bx+c经过点M(3,0)和点A(9,0),可得:





9+3b+c=0
81+9b+c=0

解得:





b=-12
c=27

∴抛物线的解析式为:y=x2-12x+27.

(4)存在
设抛物线的对称轴交x轴于点H
在(2)中已证:
∴∠DCO=60°,∠CDO=30°
∵抛物线的对称轴平行于y,
∴∠CEF=∠DCO=60°
∵OD=OA=9,
∴CO垂直平分AD
∴∠CAO=∠CDO=30°
在Rt△AFH中,∠AFH=60°
∴∠EFC=60°
∴△CEF是等边三角形
过点C作CG⊥EF于点G,则CG=6
可得:EF=4


3
,S△CEF=
1
2
EF•CG=
1
2
×4


3
×6=12


3

若点P在轴的上方,设点P坐标为(x,y),S△PAM=
1
2
AM•y=3y,S△PAM:S△CEF=


3
:3
∴3y:12


3
=


3
:3,
解得:y=4.
当y=4时,即x2-12x+27=4,解得x=6±


13

∴P(6-


13
,4)或(6+


13
,4).
②若点P在x轴上,则点P与点M或与点A重合,此时构不成三角形.
③若点P在x轴下方,设点P的坐标为(x,y)
S△PAM=
1
2
AM•(-y)=-3y,S△PAM:S△CEF=


3
:3
∴-3y:12


3
=


3
:3
解得:y=-4
当y=-4时,即x2-12x+27=-4,解得x=6±


5

∴P(6-


5
,-4)或(6+


5
,-4).
∴这样的点共有4个,
∴P(6-


13
,4)或(6+


13
,4)或(6-


5
,-4)或(6+


5
,-4).
举一反三
已知抛物线y=-
1
2
x2+bx+4上有不同的两点E(k+3,0)和F(-k-1,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,抛物线y=-
1
2
x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.
(3)当k>0且∠PMQ的边过点F时,求m、n的值.
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我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
(3)如果直线x=m在线段OB上移动,交x轴于点D,交抛物线于点E,交BD于点F.连接DE和BE后,对于问题“是否存在这样的点E,使△BDE的面积最大?”小明同学认为:“当E为抛物线的顶点时,△BDE的面积最大.”他的观点是否正确?提出你的见解,若△BDE的面积存在最大值,请求出m的值以及点E的坐标.
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如图,直线y=
3
5
x-4分别交x、y轴于A、B两点,O为坐标原点.
(1)求B点的坐标;
(2)若D是OA中点,过A的直线l(3)把△AOB分成面积相等的两部分,并交y轴于点C.
①求过A、C、D三点的抛物线的函数解析式;
②把①中的抛物线向上平移,设平移后的抛物线与x轴的两个交点分别为M、N,试问过M、N、B三点的圆的面积是否存在最小值?若存在,求出圆的面积;若不存在,请说明理由.
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如图,抛物线y=-
1
2
x2+
1
2
x+6与x轴交于A、B两点,与y轴相交于C点.
(1)求△ABC的面积;
(2)已知E点(0,-3),在第一象限的抛物线上取点D,连接DE,使DE被x轴平分,试判定四边形ACDE的形状,并证明你的结论.
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某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
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