(1)解法一:连接AC ∵DE为⊙A的直径,DE⊥BC ∴BO=CO ∵D(0,3),E(0,-1) ∴DE=|3-(-1)|=4,OE=1 ∴AO=1,AC=DE=2 在Rt△AOC中,AC2=AO2+OC2 ∴OC= ∴C(,0),B(,0) 设经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-)(x+), 则-1=a(0-)(0+) 解得a= ∴y=(x-)(x+)=x2-1(2分). 解法二:∵DE为⊙A的直径,DE⊥BC ∴BO=CO ∴OC2=OD•OE ∵D(0,3),E(0,-1) ∴DO=3,OE=1 ∴OC2=3×1=3 ∴OC= ∴C(,0),B(-,0) 以下同解法一;
(2)解法一:过点P作PF⊥y轴于F,过点Q作QN⊥y轴于N ∴∠PFA=∠QNA=90°,F点的纵坐标为t N点的纵坐标为y ∵∠PAF=∠QAN,PA=QA ∴△PFA≌△QNA ∴FA=NA ∵AO=1 ∴A(0,1) ∴|t-1|=|1-y| ∵动切线PM经过第一、二、三象限 观察图形可得1<t<3,-1<y<1. ∴t-1=1-y. 即y=-t+2. ∴y关于t的函数关系式为y=-t+2(1<t<3)(5分) 解法二:(i)当经过一、二、三象限的切线PM运动到使得Q点与C点重合时,y=0 连接PB ∵PC是直径 ∴∠PBC=90° ∴PB⊥x轴, ∴PB=t. ∵PA=AC,BO=OC,AO=1, ∴PB=2AO=2, ∴t=2. 即t=2时,y=0. (ii)当经过一、二、三象限的切线 PM运动使得Q点在x轴上方时,y>0 观察图形可得1<t<2 过P作PS⊥x轴于S,过Q作QT⊥x轴于T
则PS∥AO∥QT ∵点A为线段PQ的中点 ∴点O为线段ST的中点 ∴AO为梯形QTSP的中位线 ∴AO= ∴1= ∴y=-t+2. ∴y=-t+2(1<t<2). (iii)当经过一、二、三象限的切线PM运动使得Q点在x轴下方时,y<0,观察图形可得2<t<3 过P作PS⊥x轴于S,过Q作QT⊥x轴于T,设PQ交x轴于R 则QT∥PS ∴△QRT∽△PRS ∴= 设AR=m,则=&&(1) 又∵AO⊥x轴, ∴AO∥PS ∴△ROA∽△RSP ∴= ∴=&&(2) 由(1)、(2)得y=-t+2 ∴y=-t+2(2<t<3) 综上所述:y与t的函数关系式为y=-t+2(1<t<3)(5分)
(3)解法一:当y=0时,Q点与C点重合,连接PB ∵PC为⊙A的直径 ∴∠PBC=90° 即PB⊥x轴 ∴s=- 将y=0代入y=-t+2(1<t<3),得0=-t+2 ∴t=2∴P(-,2) 设切线PM与y轴交于点I,则AP⊥PI ∴∠API=90° 在△API与△AOC中 ∵∠API=∠AOC=90°,∠PAI=∠OAC ∴△API∽△AOC ∴= ∴I点坐标为(0,5) 设切线PM的解析式为y=kx+5(k≠0), ∵P点的坐标为(-,2), ∴2=-3 k+5. 解得k=, ∴切线PM的解析式为y=x+5(7分) 设切线PM与抛物线y=x2-1交于G、H两点 由 可得x1=,x2= 因此,G、H的横坐标分别为、 根据图象可得抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围是<x<(9分) 解法二:同(3)解法一 可得P(-,2) ∵直线PM为⊙A的切线,PC为⊙A的直径 ∴PC⊥PM 在Rt△CPM与Rt△CBP中 cos∠PCM== ∵CB=2,PC=4 ∴CM=== 设M点的坐标为(m,0), 则CM=-m= ∴m=-. 即M(-,0). 设切线PM的解析式为y=kx+b(k≠0), 得k+b2=-k+b. 解得 ∴切线PM的解析式为y=x+5(7分) 以下同解法一. |