如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=118x2-49x-10与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=118x2-49x-10与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从
题型:不详
难度:
来源:
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=
1
18
x
2
-
4
9
x-10与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE
∥
OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒).
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0<t<
9
2
时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,
若不是,请说明理由;
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程.
答案
(1)y=
1
18
(x
2
-8x-180),
令y=0,得x
2
-8x-180=0,
即(x-18)(x+10)=0,
∴x=18或x=-10.
∴A(18,0)
在y=
1
18
x
2
-
4
9
x-10中,令x=0得y=-10,
即B(0,-10).
由于BC
∥
OA,
故点C的纵坐标为-10,
由-10=
1
18
x
2
-
4
9
x-10得,
x=8或x=0,
即C(8,-10)且易求出顶点坐标为(4,
-
98
9
),
于是,A(18,0),B(0,-10),C(8,-10),顶点坐标为(4,
-
98
9
);
(2)若四边形PQCA为平行四边形,由于QC
∥
PA.
故只要QC=PA即可,
而PA=18-4t,CQ=t,
故18-4t=t得t=
18
5
;
(3)设点P运动t秒,则OP=4t,CQ=t,0<t<4.5,
说明P在线段OA上,且不与点OA、重合,
由于QC
∥
OP知△QDC
∽
△PDO,故
QD
DP
=
QC
OP
=
t
4t
=
1
4
∵△AEF
∽
△CEQ,
∴AF:CQ=AE:EC=DP:QD=4:1,
∴AF=4t=OP
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵点Q到直线PF的距离d=10,
∴S
△PQF
=
1
2
PF•d=
1
2
×18×10=90,
于是△PQF的面积总为90;
(4)设点P运动了t秒,则P(4t,0),F(18+4t,0),Q(8-t,-10)t∈(0,4.5).
∴PQ
2
=(4t-8+t)
2
+10
2
=(5t-8)
2
+100
FQ
2
=(18+4t-8+t)
2
+10
2
=(5t+10)
2
+100.
①若FP=FQ,则18
2
=(5t+10)
2
+100.
即25(t+2)
2
=224,(t+2)
2
=
224
25
.
∵0≤t≤4.5,
∴2≤t+2≤6.5,
∴t+2=
224
25
=
4
14
5
.
∴t=
4
14
5
-2,
②若QP=QF,则(5t-8)
2
+100=(5t+10)
2
+100.
即(5t-8)
2
=(5t+10)
2
,无0≤t≤4.5的t满足.
③若PQ=PF,则(5t-8)
2
+100=18
2
.
即(5t-8)
2
=224,由于
224
≈15,又0≤5t≤22.5,
∴-8≤5t-8≤14.5,而14.5
2
=(
29
2
)
2
=
841
4
<224.
故无0≤t≤4.5的t满足此方程.
注:也可解出t=
8-4
14
5
<0或t=
8+4
14
5
>4.5均不合题意,
故无0≤t≤4.5的t满足此方程.
综上所述,当t=
4
14
5
-2时,△PQF为等腰三角形.
举一反三
某游乐园要建一个直径为20m的圆形喷水池,计划在喷水池的中心安装一个大的喷水头,使喷出的水柱中心4m处达到最高,高度为6m,那么这个喷水头应设计的高度为______m.
题型:不详
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|
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(1)写出y与x之间的函数关系式.
(2)要使猪圈面积为16平方米,如何设计三面围墙的长度.
(3)能否使猪圈面积为20平方米?说明理由.
(4)你能求出猪圈面积的最大值吗?
题型:不详
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某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高产量.根据经验估计,每多种一棵橙树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)写出果园橙子的总产量y(个)与增种橙树的棵数x(棵)的函数关系式;
(2)求出当x取何值时y的值最大?y的值最大是多少?
题型:不详
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在一大片空地上有一堵墙(线段AB),现有铁栏杆40m,准备充分利用这堵墙建造一个封闭
的矩形花圃.
(1)如果墙足够长,那么应如何设计可使矩形花圃的面积最大?
(2)如果墙AB=8m,那么又要如何设计可使矩形花圃的面积最大?
题型:不详
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(1)请直接写出y与x的函数关系(不必写x的取值范围)
(2)请求出w与x的函数关系(不必写x的取值范围)
(3)要想每周取得2500元利润,并且让顾客得到实惠,应将售价定为多少元?
题型:不详
难度:
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