(1)由Rt△AOB≌Rt△CDA,得OD=2+1=3,CD=1 ∴C点坐标为(-3,1), ∴抛物线经过点C, ∴1=a(-3)2+a(-3)-2, ∴a= ∴抛物线的解析式为y=x2+x-2
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P、Q,使四边形ABPQ是正方形. 以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ,过P作PE⊥OB于E,QG⊥x轴于G,可证△PBE≌△AQG≌△BAO, ∴PE=AG=BO=2,BE=QG=AO=1, ∴P点坐标为(2,1),Q点坐标为(1,-1). 由(1)抛物线y=x2+x-2 当x=2时,y=1;当x=1时,y=-1. ∴P、Q在抛物线上. 故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2,1)、Q(1,-1),使四边形ABPQ是正方形.
(2)另在抛物线(对称轴右侧)上存在点P、Q,使四边形ABPQ是正方形. 延长CA交抛物线于Q,过B作BP∥CA交抛物线于P,连PQ,设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1;y=k2x+b2, ∵A(-1,0),C(-3,1), ∴CA的解析式为y=-x-, 同理得BP的解析式y=-x+2, 解方程组, 得Q点坐标为(1,-1), 同理得P点坐标为(2,1) 由勾股定理得AQ=BP=AB=,而∠BAQ=90°,四边形ABPQ是正方形, 故在抛物线(对称轴右侧)上存在点P(2,1)、Q(1,-1),使四边形ABPQ是正方形. (3)结论②=成立, 证明如下:连EF,过F作FM∥BG交AB的延长线于M,则△AMF∽△ABG, ∴= 由(1)知△ABC是等腰直角三角形, ∴∠1=∠2=45° ∵AF=AE ∴∠AEF=∠1=45°, ∴∠EAF=90°, ∴EF是⊙O的直径. ∴∠EBF=90°, ∵FM∥BG, ∴∠MFB=∠EBF=90°,∠M=∠2=45°, ∴BF=MF, ∴=. |