如图,已知△ABC是边长为4的等边三角形,AB在x轴上,点C在第一象限,AC交y轴于点D,点A的坐标为(-1,0).(1)求B、C、D三点的坐标;(2)抛物线y

如图,已知△ABC是边长为4的等边三角形,AB在x轴上,点C在第一象限,AC交y轴于点D,点A的坐标为(-1,0).(1)求B、C、D三点的坐标;(2)抛物线y

题型:不详难度:来源:
如图,已知△ABC是边长为4的等边三角形,AB在x轴上,点C在第一象限,AC交y轴于点D,点A的坐标为(-1,0).
(1)求B、C、D三点的坐标;
(2)抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点,求它的解析式;
(3)过点D作DEAB交经过B、C、D三点的抛物线于点E,求DE的长.
答案
(1)OB=AB-OA=4-1=3,则B的坐标是(3,0);
C点的横坐标是:
1
2
(-1+3)=1,三角形的高是:4×


3
2
=2


3

则C的坐标是:(1,2


3
);
设直线AC的解析式是:y=kx+b,根据题意得:





-k+b=0
k+b=2


3

解得:





k=


3
b=


3

则直线的解析式是:y=


3
x+


3

令x=0,解得:y=


3

则D的坐标是:(0,


3
);

(2)根据题意得:





9a+3b+c=0
a+b+c=2


3
c=


3

解得:





a=-
2


3
3
b=
5


3
3
c=


3

则函数的解析式是:y=-
2


3
3
x2+
5


3
3
x+


3


(3)在:y=-
2


3
3
x2+
5


3
3
x+


3
中,令y=


3

得到-
2


3
3
x2+
5


3
3
x+


3
=


3

解得:x=0或
5
2

故DE=
5
2
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=
1
18
x2-
4
9
x-10与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒).
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0<t<
9
2
时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程.
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某游乐园要建一个直径为20m的圆形喷水池,计划在喷水池的中心安装一个大的喷水头,使喷出的水柱中心4m处达到最高,高度为6m,那么这个喷水头应设计的高度为______m.
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欢欢家想利用房屋侧面的一面墙,再砌三面墙,围成一个矩形猪圈(如图),一面墙的中间留出1米宽的进出门(门使用另外的材料).现备有足够砌11米长的围墙的材料,设猪圈与已有墙面垂直的墙的长度为x米,猪圈面积为y平方米.
(1)写出y与x之间的函数关系式.
(2)要使猪圈面积为16平方米,如何设计三面围墙的长度.
(3)能否使猪圈面积为20平方米?说明理由.
(4)你能求出猪圈面积的最大值吗?
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某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高产量.根据经验估计,每多种一棵橙树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)写出果园橙子的总产量y(个)与增种橙树的棵数x(棵)的函数关系式;
(2)求出当x取何值时y的值最大?y的值最大是多少?
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在一大片空地上有一堵墙(线段AB),现有铁栏杆40m,准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃.
(1)如果墙足够长,那么应如何设计可使矩形花圃的面积最大?
(2)如果墙AB=8m,那么又要如何设计可使矩形花圃的面积最大?
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