如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,1),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(52,134),B点在y轴上,直线与x轴
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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,1),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(52,134),B点在y轴上,直线与x轴
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,1),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(
5
2
,
13
4
),B点在y轴上,直线与x轴的交点为F,P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点.
(1)求k,m的值及这个二次函数的解析式;
(2)设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、E、D为顶点的
三角形与△BOF相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)
2
+1
∵A
(
5
2
,
13
4
)
在抛物线上
∴
13
4
=a(
5
2
-1)
2
+1
∴a=1
∴二次函数解析式为y=(x-1)
2
+1(或y=x
2
-2x+2)
令x=0得:y=2
即B(0,2)在y=kx+m上
∴m=2
把
(
5
2
,
13
4
)
代入y=kx+2,
得
k=
1
2
;
(2)h=
1
2
x+2-(x-1)
2
-1
=-x
2
+
5
2
x(0<x<
5
2
);
(3)假设存在点P,①当∠PED=∠BOF=90°时,由题意可得△PED
∽
△BOF
则
-
x
2
+
5
2
x
2
=
x-1
4
∴x=
2±
6
2
,
∵0<x<
5
2
,
∴x=
2-
6
2
(舍去)
而x=
2+
6
2
<
5
2
∴存在点P,其坐标为
(
2+
6
2
,
10+
6
4
)
②当∠PDE=∠BOF=90°时,
过点E作EK垂直于抛物线的对称轴,垂足为K.
由题意可得:△PDE
∽
△EKD,△PDE
∽
△BOF
∴△EKD
∽
△BOF
则
5
2
-(
x
2
-2x+2)
4
=
x-1
2
∴
x=±
10
2
.
∵
0<x<
5
2
,
x=-
10
2
舍去
而
x=
10
2
<
5
2
,
∴存在点P,其坐标为
(
10
2
,
8+
10
4
)
综上所述存在点P满足条件,其坐标为
(
2+
6
2
,
10+
6
4
)
,
(
10
2
,
8+
10
4
)
.
举一反三
如图,已知△ABC是边长为4的等边三角形,AB在x轴上,点C在第一象限,AC交y轴于点D,点A的坐标为(-1,0).
(1)求B、C、D三点的坐标;
(2)抛物线y=ax
2
+bx+c经过B、C、D三点,求它的解析式;
(3)过点D作DE
∥
AB交经过B、C、D三点的抛物线于点E,求DE的长.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=
1
18
x
2
-
4
9
x-10与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE
∥
OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒).
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0<t<
9
2
时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,
若不是,请说明理由;
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程.
题型:不详
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某游乐园要建一个直径为20m的圆形喷水池,计划在喷水池的中心安装一个大的喷水头,使喷出的水柱中心4m处达到最高,高度为6m,那么这个喷水头应设计的高度为______m.
题型:不详
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欢欢家想利用房屋侧面的一面墙,再砌三面墙,围成一个矩形猪圈(如图),一面墙的中间留出1米宽的进出门(门使用另外的材料).现备有足够砌11米长的围墙的材料,设猪圈与已有墙面垂直的墙的长度为x米,猪圈面积为y平方米.
(1)写出y与x之间的函数关系式.
(2)要使猪圈面积为16平方米,如何设计三面围墙的长度.
(3)能否使猪圈面积为20平方米?说明理由.
(4)你能求出猪圈面积的最大值吗?
题型:不详
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某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高产量.根据经验估计,每多种一棵橙树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)写出果园橙子的总产量y(个)与增种橙树的棵数x(棵)的函数关系式;
(2)求出当x取何值时y的值最大?y的值最大是多少?
题型:不详
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