(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3), ∴, 解得:, ∴抛物线的解析式是y=x2-2x-3;
(2)作PE⊥y轴于点E,设抛物线的对称轴与x轴相交于点F, 易得抛物线的对称轴为直线x=1,直线BC的解析式为y=x-3, ∴P(1,-2), ∴E(0,-2),ME=|m-1|, ∴PM==, ∵∠MPN=90°,∠EPF=90°, ∴∠MPE=∠NPF, 又∵∠PEM=∠PFN=90°, ∴△MPE∽△NPF, ∴=, ∴PN=2PM, ∴S=PM•PN=m2-2m+2, ∵0≤m≤3, ∴当m=3时,S有最大值,最大值是5;
(3)①当点D在x轴上时,点D、M显然分别与点O、E重合, 此时,m=1; ②当点D在抛物线上时(如图2),作DG⊥x轴于点G, ∠MPE+∠NPE=90°,∠NPE+∠NPF=90°, ∴∠MPE=∠NPF, 又∵∠DNG+∠PNF=90°,∠NPF+∠PNF=90°, ∴∠DNG=∠NPF, ∴∠MPE=∠DNG, 在△MPE和△DNG中, , ∴△MPE≌△DNG(AAS), ∴DG=ME=1-m,NG=PE=1, 由(2)得:=,故NF=2ME=2-2m, ∴OG=1-ON=NF=2-2m, ∴D(2m-2,m-1), 代入抛物线解析式得:m-1=(2m-2)2-2(2m-2)-3, 整理得:4m2-13m+6=0, 解得:m1=,m2=(不合题意,舍去), ∴m=时,点D恰好在抛物线上, ∴当≤m≤1时,此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内. |