(1)∵四边形OABC是矩形, ∴∠CDE=∠AOE=90°,OA=BC=CD. 又∵∠CED=∠OEA, ∴△CDE≌△AOE. ∴OE=DE. ∴OE2+OA2=(AD-DE)2, 即OE2+42=(8-OE)2, 解之,得OE=3.
(2)EC=8-3=5.如图,过D作DG⊥EC于G, ∴△DGE∽△CDE. ∴=,=. ∴DG=,EG=. ∴D(,). 因O点为坐标原点, 故可设过O,C,D三点抛物线的解析式为y=ax2+bx. ∴ 解之,得y=-x2+x
(3)∵抛物线的对称轴为x=4, ∴其顶点坐标为(4,). 设直线AC的解析式为y=kx+b, 则解之,得 ∴y=x-4. 设直线FP交直线AC于H(m,m-4),过H作HM⊥OA于M. ∴△AMH∽△AOC. ∴HM:OC=AH:AC. ∵S△FAH:S△FHC=1:3或3:1, ∴AH:HC=1:3或3:1, ∴HM:OC=AH:AC=1:4或3:4. ∴HM=2或6, 即m=2或6. ∴H1(2,-3),H2(6,-1). 直线FH1的解析式为y=x-. 当y=-4时,x=. 直线FH2的解析式为y=-x+. 当y=-4时,x=. ∴当t=秒或秒时, 直线FP把△FAC分成面积之比为1:3的两部分.
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