(1)(法一)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),把A(-1,0),B(5,0),C(0,2)三点代入解析式得:, 解得; ∴y=-x2+x+2;(3分) (法二)设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1), 把(0,2)代入解析式得:2=-5a, ∴a=-; ∴y=-(x+1)(x-5), 即y=-x2+x+2;(3分)
(2)①过点F作FD⊥x轴于D, 当点P在原点左侧时,BP=6-t,OP=1-t; 在Rt△POC中,∠PCO+∠CPO=90°, ∵∠FPD+∠CPO=90°, ∴∠PCO=∠FPD; ∵∠POC=∠FDP, ∴△CPO∽△PFD,(5分) ∴=; ∵PF=PE=2PC, ∴FD=2PO=2(1-t);(6分) ∴S△PBF=BP×DF=t2-7t+6(0≤t<1);(8分) 当点P在原点右侧时,OP=t-1,BP=6-t; ∵△CPO∽△PFD,(9分) ∴FD=2(t-1); ∴S△PBF=BP×DF=-t2+7t-6(1<t<6);(11分) ②当0≤t<1时,S=t2-7t+6; 此时t在t=3.5的左侧,S随t的增大而减小,则有: 当t=0时,Smax=0-7×0+6=6; 当1<t<6时,S=-t2+7t-6; 由于1<3.5<6,故当t=3.5时,Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25; 综上所述,当t=3.5时,面积最大,且最大值为6.25.
(3)能;(12分) ①若F为直角顶点,过F作FD⊥x轴于D,由(2)可知BP=6-t,DP=2OC=4, 在Rt△OCP中,OP=t-1, 由勾股定理易求得CP2=t2-2t+5,那 么PF2=(2CP)2=4(t2-2t+5); 在Rt△PFB中,FD⊥PB, 由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5, 而PB的另一个表达式为:PB=6-t, 联立两式可得t2-2t+5=6-t,即t=, P点坐标为(,0), 则F点坐标为:(,-1);
②B为直角顶点,那么此时的情况与(2)题类似,△PFB∽△CPO,且相似比为2, 那么BP=2OC=4,即OP=OB-BP=1,此时t=2, P点坐标为(1,0).FD=2(t-1)=2, 则F点坐标为(5,2).(14分) |