已知,平面直角坐标系上有A(a,0)、B(0,-b)、C(b,0)三点,且a≥b>0,抛物线y=(x-2)(x-m)-(n-2)(n-m).(m,n为常数,且m

已知,平面直角坐标系上有A(a,0)、B(0,-b)、C(b,0)三点,且a≥b>0,抛物线y=(x-2)(x-m)-(n-2)(n-m).(m,n为常数,且m

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已知,平面直角坐标系上有A(a,0)、B(0,-b)、C(b,0)三点,且a≥b>0,抛物线y=(x-2)(x-m)-(n-2)(n-m).(m,n为常数,且m+2≥2n>0),经过点A和点C,顶点为P
(1)当m,n满足什么关系时,S△AOB最大;
(3)如图,当△ACP为直角三角形时,判断以下命题是否正确:“直角三角形DEF的三个顶点都在这条抛物线上,且DFx轴,那么△ACP与△DEF斜边上的高相等”,如果正确请予以证明,不正确请举出反例.
答案
(1)∵y=(x-2)(x-m)-(n-2)(n-m)=(x-n)(x+n-m-2),
又∵m+2≥2n,即m+2-n≥n,
∴点(m+2-n,0)在点(n,0)右边.
又抛物线过A点和C点,
∴a=m+2-n,b=n,
∵S△AOB=
1
2
ab=
1
2
(m+2-n)n≤
1
2
[
1
2
(m+2-n)+n]2=
1
8
(m+2)2
当且仅当m+2-n=n时取“=”,此时m+2=2n,
当m+2=2n时,S△AOB最大;

(2)命题正确.
理由:∵当△ACP是直角三角形时,AP⊥CP,且|AC|等于P点到x轴距离的2倍.
又∵抛物线y=(x-n)(x+n-m-2)=[x-
1
2
(m+2)]2-
1
4
(m+2)2+n(m+2-n),
∴顶点必然在x轴下方,
∴由 2[
1
4
(m+2)2-n(m+2-n)]=(m+2-n)-n,
化简得:[(m+2)-2n][(m+2)-(2n+2)]=0,
显然A、C不会是同一点,
∴m+2-n>n,即(m+2)-2n>0,
∴(m+2)-(2n+2)=0,
得:m=2n,
代回原方程有y=(x-n)(x-n-2),
∴点A(n+2,0),点C(n,0),点P(n+1,-1).
假设命题成立,
∵DEx轴,
∴点F为Rt△DEF的直角.
令D、E的纵坐标均为y=b,则可求的两点的坐标分别为:D(n+1-


b+1
,b),E(n+1+


b+1
,b).
设点F坐标为(x0,y0),
∵DF⊥EF,
∴有
y0-b
x0-(n+1-


b+1
)
y0-b
x0-(n+1+


b+1
)
=-1,
化简得(x0-n-1)2+(y0-b)2=b+1,
又(x0,y0)满足y0=(x0-n)(x0-n-2)=[(x0-n-1)+1][(x0-n-1)-1]=(x0-n-1)2-1,
联立两式消去x0化简得:y02+(1-2b)y0+(b2-b)=0,
求得y0=b或b-1,舍去y0=b,故y0=b-1,
∴F到斜边DE的距离为b-(b-1)=1,这与P到斜边AC距离一样.
综合上述:命题是正确的.
举一反三
如图,已知点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(9,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接AC,BC,过A,B,C三点作抛物线.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,连接BD,求直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
第三问改成,在(2)的条件下,点P是直线BC下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△PCD的面积是△BCD面积的三分之一,求此时点P的坐标.
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如图,以边长为


2
的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系,抛物线y=x2+bx+c经过点B且与直线AB只有一个公共点.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求抛物线y=x2+bx+c的解析式;
(3)若点P为(2)中抛物线上一点,过点P作PM⊥x轴于点M,问是否存在这样的点P,使△PMC△ADC?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,抛物线y1=a(x+2)2-3y2=
1
2
(x-3)2+1
交于点A(1,3)过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B、C,则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=
2
3
;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC;
其中,结论正确的是______(填写序号即可)
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已知正方形的边长为x,面积为y
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)当面积为25时,正方形的边长是多少?
(3)画出此函数的图象.
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如图,⊙O的半径为2,C1是函数的y=
1
2
x2
的图象,C2是函数的y=-
1
2
x2
的图象,C3是函数的y=x的图象,则阴影部分的面积是______.
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