如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．（1）求抛物线

题型：不详难度：来源：

如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
第三问改成，在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．

答案

（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，（1分）
∴

OA

OC

=

OC

OB

．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴

1

OC

=

OC

9

，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，-3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=

1

3

，
∴二次函数的解析式为y=

1

3

（x+1）（x-9），
即y=

1

3

x²-

8

3

x-3．（4分）

（2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），（5分）
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=

1

2

∠BCE=

1

2

×90°=45°，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=

1

2

AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，-5）．（6分）
∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴

9k+b=0 4k+b=-5

（7分）
解得

k=1 b=-9

∴直线BD的解析式为y=x-9．（8分）

（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则

BQ

=

CD

．
分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，
因此，点Q₁（7，-4）符合

BQ

=

CD

，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y=

1

3

x-

19

3

．（9分）
解方程组

y= 1 3 x- 19 3 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1= 9- 41 2 y1= -29- 41 6

或

x2= 9+ 41 2 y2= -29+ 41 6

∴点P₁坐标为（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），坐标为（

9- 41

2

，

-29- 41

6

）不符合题意，舍去．（10分）
②∵Q₁（7，-4），
∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合

BQ

=

CD

．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x-17．（11分）
解方程组

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，
即

x2=14 y2=25

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．（12分）
∴符合条件的点P有两个：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．

解法二：分两种情况（如图所示）：
①当DP₁∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=

1

3

x-3．
又∵DP₁∥CB，
∴设直线DP₁的解析式为y=

1

3

x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-

19

3

，
∴直线DP₁解析式为y=

1

3

x-

19

3

．（9分）
解方程组

y= 1 3 x- 19 3 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1= 9- 41 2 y1= -29- 41 6

或

x2= 9+ 41 2 y2= -29+ 41 6

∴点P₁坐标为（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

）或（

9- 41

2

，

-29- 41

2

）（不符合题意舍去）．（10分）
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y=

1

3

x-3．
取x=4，得y=-

5

3

，
∴M（4，-

5

3

），
∴O′N=O′M=

5

3

，
∴N（

17

3

，0），
又∵D（4，-5），
∴直线DN解析式为y=3x-17．（11分）
解方程组

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，

x2=14 y2=25

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．（12分）
∴符合条件的点P有两个：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．

解法三：分两种情况（如图所示）：
①求点P₁坐标同解法二．（10分）
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，
此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由（2）题知直线BD的解析式为y=x-9，
又∵C（0，-3）
∴可求得CG的解析式为y=x-3，
设G（m，m-3），作GH⊥x轴交于x轴与H，
连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，
由D（4，-5）与G（7，4）可得，
DG的解析式为y=3x-17，（11分）
解方程组

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，
即

x2=14 y2=25

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意舍去．（12分）
∴符合条件的点P有两个：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．
说明：本题解法较多，如有不同的正确解法，请按此步骤给分．


过B作BM⊥CD于M，
B（9，0），C（0，-3），由勾股定理得：BC=

32+92

=3

10

，
∵∠BCD=45°，
∴BM=CM，
由勾股定理得：BM=3

5

，
∵△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，
∴根据△CDB和△CDP有一条公共边CD，得出P到CD的高是3

5

÷3=

5

，
根据C（0，-3），D（4，-5）的坐标求出直线CD的解析式是y=

1

2

x-3，
把直线CD向上平移

5

单位得出直线y=

1

2

x-3+

5

，把直线CD向下平移

5

单位得出直线y=

1

2

x-3-

5

，
则

y= 1 3 x2- 8 3 x-3 y= 1 2 x-3+ 5

，

y= 1 3 x2- 8 3 x-3 y= 1 2 x-3- 5

，
解得：

x1= 19+ 361+48 5 4 y1= 361+48 5 -5+8 5 8

（因为此点不在直线BC下方舍去），

x2= 19- 361+48 5 4 y2= - 361+48 5 -5+8 5 8

，（因为此点不在直线BC下方舍去），

x3= 19+ 361-48 5 4 y3= - 361-48 5 -5+8 5 8

，

x4= 19- 361-48 5 4 y4= - 361-48 5 -5+8 5 8

．
即P的坐标是（

19+ 361-48 5

4

，

- 361-48 5 -5+8 5

8

）或（

19- 361-48 5

4

，

- 361-48 5 -5+8 5

8

）．