对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列四个
题型：单选题难度：一般来源：潍坊二模
对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=2x；②f（x）=x3；③f（x）=sinx；④f（x）=log2x+1．
则存在“等值区间”的函数的个数是（ ） |
答案
①对于函数f（x）=2x，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有2a=a，2b=b，
即方程2x=x有两个解，即y=2x和y=x的图象有两个交点，这与y=2x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在
“等值区间”．
②对于函数f（x）=x3存在“等值区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x3∈[0，1]．
③对于函数f（x）=sinx，若正弦函数存在等值区间[a，b]，则在区间[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函数的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，但在区间]⊆[-1，1]上仅有sin0=0，所以函数f（x）=sinx没有“等值区间”；
④对于 f（x）=log2x+1，由于函数是定义域内的增函数，故在区间[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函数存在“等值区间”[1，2]．
故选B |
举一反三
已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
（2）若m=-，P点的轨迹为曲线C，过点Q（2，0）斜率为k1的直线ℓ1与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR（O为坐标原点）的斜率为k2，求证k1k2为定值；
（3）在（2）的条件下，设=λ，且λ∈[2，3]，求ℓ1在y轴上的截距的变化范围． |
| 函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）在C内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f（x）在[m，n]上的值域为[，]，那么就称y=f（x）为“希望函数”，若函数f（x）=loga（ax+t）（a＞0，a≠1）是“希望函数”，则t取值范围为______． |
对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数f(x)=2x+，x∈[1，10]；g（x）=-x3，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数f(x)=+k，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围． |
| 已知函数f（x）=x2，（x∈[-2，2]），g(x)=a2sin(2x+)+3a，x∈[0，]，∀x1∈[-2，2]，总∃x0∈[0，]，使得g(x0)=f()成立，则实数a的取值范围是______． |
函数y=的定义域为（ ）| A．{x|x≠+kπ，k∈Z} | B．{x|x≠，k∈Z} | | C．∅ | D．R |
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