对于函数y=f(x),x∈D,若同时满足以下条件:①函数f(x)是D上的单调函数;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称函
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对于函数y=f(x),x∈D,若同时满足以下条件:①函数f(x)是D上的单调函数;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称函
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
对于函数y=f(x),x∈D,若同时满足以下条件:
①函数f(x)是D上的单调函数;
②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],
则称函数f(x)是闭函数.
(1)判断函数
f(x)=2x+
4
x
,x∈[1,10];g(x)=-x
3
,x∈R是不是闭函数,并说明理由;
(2)若函数
f(x)=
x+2
+k
,x∈[-2,+∞)是闭函数,求实数k的取值范围.
答案
(1)
f′(x)=2-
4
x
2
=
2(
x
2
-2)
x
2
令f"(x)=0
解得
x=
2
(x=-
2
舍)
∵
x∈[1,
2
)
时f"(x)<0;
x∈(
2
,10]
时f"(x)>0
∴f(x)在
[1,
2
)
上是减函数,在
(
2
,10]
上是增函数
∴函数f(x)不是[1,10]上的单调函数
∴
f(x)=2x+
4
x
不是闭函数.
②∵g"(x)=-x
2
≤0∴g(x)=-x
3
在R上是减函数,
设g(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],
则
b=-
a
3
a=-
b
3
a<b
,解得
a=-1
b=1
∴存在区间[-1,1]⊆R,
使f(x)在[-1,1]上的值域也是[-1,1]
∴函数g(x)=-x
3
是闭函数
(2)函数
f(x)=
x+2
+k
在定义域上是增函数
设函数f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],
则
a=k+
a+2
b=k+
b+2
,
故a,b是方程
x=k+
x+2
的两个不相等的实根,
命题等价于
x
2
-(2k+1)x+
k
2
-2=0
x≥-2
x≥k
有两个不相等的实根,
当k≤-2时,
2k+1
2
>-2
(2k+1
)
2
-4(
k
2
-2)>0
2
2
-(2k+1)k+
k
2
-2≥0
,
解得
k>-
9
4
,∴
k∈(-
9
4
,-2]
.
当k>-2时,
2k+1
2
>k
(2k+1
)
2
-4(
k
2
-2)>0
k
2
-(2k+1)k+
k
2
-2≥0
,无解.
∴k的取值范围是
(-
9
4
,-2]
举一反三
已知函数f(x)=x
2
,(x∈[-2,2]),
g(x)=
a
2
sin(2x+
π
6
)+3a,x∈[0,
π
2
]
,∀x
1
∈[-2,2],
总∃
x
0
∈[0,
π
2
],使得g(
x
0
)=f(
x
1
)
成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数
y=
1
tanx
的定义域为( )
A.
{x|x≠
π
2
+kπ,k∈Z}
B.
{x|x≠
kπ
2
,k∈Z}
C.∅
D.R
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]⊆D,(a<b)使得f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称y=f(x)为闭函数. 若
f(x)=k+
x
是闭函数,则实数k的取值范围是( )
A.
(-
1
4
,+∞)
B.
[-
1
2
,+∞)
C.
[-
1
2
,-
1
4
)
D.
(-
1
4
,0]
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知
f(x)=4-
1
x
,若存在区间
[a,b]⊆(
1
3
,+∞)
,使得{y|y=f(x),x⊆[a,b]}=[ma,mb],则实数m的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数ƒ(x)=
-
x
2
+2x+3
的递减区间是( )
A.[1,3]
B.(1,+∞)
C.(-∞,3]
D.(-∞,1]
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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