若正数项数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,点P(Sn,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上.(1)求a2,a3;(2)求数列{an}的通项公式an;(3
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若正数项数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,点P(Sn,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上.(1)求a2,a3;(2)求数列{an}的通项公式an;(3
题型:不详
难度:
来源:
若正数项数列{a
n
}的前n项和为Sn,首项a
1
=1,点P(
S
n
,S
n+1
)在曲线y=(x+1)
2
上.
(1)求a
2
,a
3
;
(2)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(3)设b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
,Tn表示数列{b
n
}的前项和,若Tn≥a恒成立,求Tn及实数a的取值范围.
答案
(1)由题意可得,
s
n+1
=(
s
n
+1
)
2
分别取n=1和n=2时,可得
a
1
+
a
2
=(1+
a
1
)
2
a
1
+
a
2
+
a
3
=(1+
a
1
+
a
2
)
2
由a
1
=1可得,a
2
=3,a
3
=5
(2)由
s
n+1
=(
s
n
+1
)
2
可得
s
n
-
s
n-1
=1
∴{s
n
}是以
s
1
为首项,以1为公差的等差数列
∴
s
n
=1+(n-1)×1=n
∴s
n
=n
2
当n≥2时,
a
n
=
n
2
-(n-1
)
2
=2n-1
∴a
n
=2n-1
(3)∵
b
n
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
∴
T
n
=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
显然T
n
关于n单调递增,当n=1时,T
n
有最小值
T
1
=
1
3
∵T
n
≥a恒成立
∴
a≤
1
3
举一反三
等比数列{a
n
} 中,a
1
,a
2
,a
3
分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a
1
,a
2
,a
3
中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
题型:广东模拟
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}中,a
1
=3,a
2
=5,S
n
为其前n项和,且满足S
n
+S
n-2
=2S
n-1
+2
n-1
(n≥3,n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)令b
n
=
n
a
n
-1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
;
(3)若f(x)=2
x-1
,c
n
=
1
a
n
a
n+1
,Q
n
=c
1
f(1)+c
2
f(2)+…+c
n
f(n),求证Q
n
<
1
6
(n∈N*).
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,首项a
1
=1,且对于任意n∈N
+
都有na
n+1
=2S
n
.
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
=
4
a
n+1
a
n
2
a
n+2
2
,且数列{b
n
}的前n项之和为T
n
,求证:
T
n
<
5
4
.
题型:不详
难度:
|
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已知有两个数列{a
n
},{b
n
},它们的前n项和分别记为S
n
,T
n
,且数列{a
n
}是各项均为正数的等比数列,S
m
=26,前m项中数值最大的项的值为18,S
2m
=728,又
T
n
=2
n
2
(I)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式.
(II)若数列{c
n
}满足c
n
=b
n
a
n
,求数列{c
n
}的前n项和P
n
.
题型:河东区二模
难度:
|
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设
M=
1
2
10
+
1
2
10
+1
+
1
2
10
+2
+…+
1
2
11
-1
,则( )
A.M=1
B.M<1
C.M>1
D.M与1的大小关系不确定
题型:不详
难度:
|
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