直线y=-13x+1分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.(1)写出点

直线y=-13x+1分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.(1)写出点

题型:不详难度:来源:
直线y=-
1
3
x+1
分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.
(1)写出点A、B、C、D的坐标;
(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;
(3)在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)A(3,0),B(0,1),C(0,3),D(-1,0);(4分)

(2)∵抛物线y=ax2+bx+c经过C点,
∴c=3.(1分)
又∵抛物线经过A,D两点,





9a+3b+3=0
a-b+3=0

解得





a=-1
b=2
(2分)
∴y=-x2+2x+3(1分)
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点G(1,4).(1分)

(3)过点G作GH⊥y轴垂足为点H,
AB=


10
BG=


10

∵tan∠BAO=
1
3
,tan∠GBH=
1
3

∴∠BGH=∠BAO(1分)
∵∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠BGH+∠ABO=90°,
∴∠GBA=90°,
∴∠ABQ=∠DOC=∠AOB(1分)
①当
OD
OC
=
BQ
BA
时,△ODC△BQA,
1
3
=
BQ


10

∴BQ=


10
3
(1分)
过点Q作QN⊥y轴,垂足为点N,设Q(x,y),
NQ
BQ
=
HG
BG
|x|


10
3
=
1


10
|x|=
1
3
x=±
1
3

∵tan∠GBH=
1
3

∴BN=1,
Q1(
1
3
,2)
Q2(-
1
3
,0)
(2分)
②同理可得:Q3(3,10),Q4(-3,-8).(2分)
举一反三
如图中是抛物线形拱桥,当水面在n时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m,水面宽度增加多少?
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已知:抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0),另一个交点为B.
(1)求点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)已知直线y=k与抛物线不相交,且抛物线上任意一点到这条直线的距离与这一点到点F(-2,-
3
4
a
)的距离相等,则k的值为______.(直接写答案)
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在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A(-1,0),顶点为P.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)顶点P的坐标为______;此抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为______;
(3)若抛物线与y轴交于C点,求△ABC的面积;
(4)在x轴上方的抛物线上是否存在一点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积?若存在,请直接写出点D的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+n与x轴交于A、B两点,点A的坐标为(-2,0).
(1)求B点坐标;
(2)直线y=
1
2
x+4m+n
经过点B.
①求直线和抛物线的解析式;
②点P在抛物线上,过点P作y轴的垂线l,垂足为D(0,d).将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象G.请结合图象回答:当图象G与直线y=
1
2
x+4m+n
只有两个公共点时,d的取值范围是______.
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如图,在同一坐标系内,二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A(-1,0),点B(2,0)和点C(0,4),一次函数的图象与抛物线交于B,C两点.
(1)二次函数的解析式为______;
(2)当自变量x______时,两函数的函数值都随x增大而减小;
(3)当自变量x______时,一次函数值大于二次函数值.
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