已知二次函数的图象如图所示.(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标;(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动

已知二次函数的图象如图所示.(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标;(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动

题型:不详难度:来源:
已知二次函数的图象如图所示.
(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标;
(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为s,求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)将△OAC补成矩形,使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).
答案
(1)设抛物线的解析式y=a(x+1)(x-2),
∵-2=a×1×(-2),
∴a=1,
∴y=x2-x-2,其顶点坐标是(
1
2
,-
9
4
);

(2)设线段BM所在的直线的解析式为:y=kx+b(k≠0),
点N的坐标为N(h,-t),





0=2k+b
-
9
4
=
1
2
k+b

解它们组成的方程组得:





k=
3
2
b=-3

所以线段BM所在的直线的解析式为:y=
3
2
x-3,
N点纵坐标为:-t,
∴-t=
3
2
h-3,
∴h=2-
2
3
t,
其中
1
2
<h<2,
∴s=
1
2
×1×2+
1
2
(2+t)(2-
2
3
t)=-
1
3
t2+
1
3
t+3,
∴s与t间的函数解析式为,
s=-
1
3
t2+
1
3
t+3,
∵M点坐标是(
1
2
,-
9
4
);
∴QN最大值为:
9
4

∴自变量的取值围是:0<t<
9
4


(3)存在符合条件的点P,且坐标是:P1
5
2
7
4
),P2
3
2
,-
5
4
).
设点P的坐标为P(m,n),则 n=m2-m-2,PA2=(m+1)2+n2
PC2=m2+(n+2)2,AC2=5,
分以下几种情况讨论:
(ⅰ)若∠ACP=90°则AP2=PC2+AC2
可得:m2+(n+2)2+(m+1)2+n2=5,
解得:m1=
5
2
,m2=-1(舍去).
所以点P(
5
2
7
4

(ⅱ)若∠PAC=90°,则PC2=PA2+AC2
∴n=m2-m-2
(m+1)2+n2=m2+(n+2)2+5
解得:m3=
3
2
,m4=0(舍去).所以点P(
3
2
,-
5
4
).
(ⅲ)由图象观察得,当点P在对称轴右侧时,PA>AC,所以边AC的对角∠APC不可能是直角.

(4)以点O,点A(或点O,点C)为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边OA(或边OC)的对边上,
如图,此时未知顶点坐标是点P(-1,-2),以点A,点C为矩形的两顶点,
第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,
如图,此时未知顶点坐标是P1(-1,-2),P2(-
1
5
2
5
)或
4
5
,-
8
5
).
举一反三
如图,⊙M是以点M(4,0)为圆心,5个单位长度为半径的圆.⊙M与x轴交于点A、B(A在B的左侧),⊙M与y轴的正半轴交于点C.
求:(1)点A、B、C的坐标;
(2)经过点A、B、C三点的抛物线的解析式.
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二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示.已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1).
(1)试求a,b所满足的关系式;
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C,当△AMC的面积为△ABC面积的
5
4
倍时,求a的值;
(3)是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
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一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8m,宽为2m,隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m,建立如图所示的坐标系:
(1)求抛物线的解析式;
(2)一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过,为什么?
(3)如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过,为什么?
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已知如图,抛物线t=ax2+bx+c与x轴相交于B(1,0)、C(4,0)两点,与y轴的正半轴相交于A点,过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A,M为y轴负半轴上的一个动点,直线MB交抛物线于N,交⊙P于D.
(1)填空:A点坐标是______,⊙P半径的长是______,a=______,b=______,c=______;
(2)若S△BNC:S△AOB=15:2,求N点的坐标;
(3)若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似,求MB•MD的值.
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如图,用长20m的篱笆,一面靠墙围成一个长方形的园子,怎么围才能使园子的面积最大?最大面积是多少?
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