已知如图,抛物线t=ax2+bx+c与x轴相交于B(1,0)、C(4,0)两点,与y轴的正半轴相交于A点,过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A,M为y轴负半轴

已知如图,抛物线t=ax2+bx+c与x轴相交于B(1,0)、C(4,0)两点,与y轴的正半轴相交于A点,过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A,M为y轴负半轴

题型:不详难度:来源:
已知如图,抛物线t=ax2+bx+c与x轴相交于B(1,0)、C(4,0)两点,与y轴的正半轴相交于A点,过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A,M为y轴负半轴上的一个动点,直线MB交抛物线于N,交⊙P于D.
(1)填空:A点坐标是______,⊙P半径的长是______,a=______,b=______,c=______;
(2)若S△BNC:S△AOB=15:2,求N点的坐标;
(3)若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似,求MB•MD的值.
答案
(1)将B(1,0)、C(4,0)两点坐标代入抛物线t=ax2+bx+c得:





a+b+c=0
16a+4b+c=0

解得





b=-5a
c=4a

由题意可知:PA=PB=PC,且PA⊥y轴,
设P点坐标为P(2.5,yA ),由题意可知PA=PB=PC=2.5,
根据勾股定理可求得yA=2,
∴A点坐标是(0,2),⊙P半径为的长为2.5,
将A点坐标代入抛物线方程可得2=c,
联立①式便可解得a=0.5,b=-2.5,c=2.
∴抛物线的方程为t=0.5x2-2.5x+2,
故答案为:(0,2),2.5,0.5,-2.5,2;

(2)S△BNC:S△AOB=
1
2
×BC×yN
1
2
×OB×OA
=
yN
1×2
=
15
2

解得yN=5,
将yN=5代入抛物线的方程t=0.5x2-2.5x+2得:x1=-1,x2=6,
观察图形可知x2=6符合题意,
∴N点的坐标为N(6,5);

(3)由题意可知△AOB△DBA,
AB
DA
=
AO
DB
=
OB
BA

∵OA=2,OB=1,
由勾股定理可知AB=


5
,根据三角形相似可知BD=2


5

由射影定理可知:AB2=MB×BD,
(


5
)2=MB×2


5

解得MB=


5
2
,MD=MB+BD=
5


5
2

∴MB•MD=


5
2
×
5


5
2
=
25
4
举一反三
如图,用长20m的篱笆,一面靠墙围成一个长方形的园子,怎么围才能使园子的面积最大?最大面积是多少?
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已知抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(x0,0)和点B(2,0),与y轴的正半轴交于点C,其对称轴是直线x=-1,tan∠BAC=2,点A关于y轴的对称点为点D.
(1)确定A、C、D三点的坐标;
(2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式;
(3)若过点(0,3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M、N两点,以MN为一边,抛物线上任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,写出S关于P点纵坐标y的函数解析式;
(4)当
1
2
<x<4时,(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值?若有,请求出;若无,请说明理由.
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如图,将抛物线y=x2沿x轴正方向平移3个单位得到抛物线l,直线y=-2.
(1)求抛物线l的解析式;
(2)点A是抛物线l上一点,点B是直线y=-2上一点,是否存在等腰△OAB?若存在,求点A,B两点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若将上题中的“沿x轴正方向平移3个单位”改为“沿x轴正方向平移n个单位”,其它条件不变,探究上题(2)中的问题.
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竖直向上发射物体的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0•t,其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉,喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度应该达到多少?(结果精确到0.01m/s)
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如图是一个运动员投掷铅球的抛物线图,解析式为y=-
1
12
x2+
2
3
x+
5
3
(单位:米),其中A点为出手点,C点为铅球运行中的最高点,B点铅球落地点.求:
(1)出手点A离地面的高度;
(2)最高点C离地面的高度;
(3)该运动员的成绩是多少米?
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