(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C(0,3),由题意,得 , 解得: ∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3, ∴y=-(x-1)2+4, ∴D(1,4);
(2)∵PQ⊥x轴, ∴P、Q的横坐标相同, ∵P点在直线y=x-1上,设P(a,a-1),则Q(a,-a2+2a+3), ∴PQ=-a2+2a+3-a+1=-a2+a+4, ∴PQ=-(a-)2+, ∴当a=时,线段PQ最长为,则P点坐标为(,-);
(3)∵E为线段OC上的三等分点,且OC=3, ∴E(0,1)或E(0,2), 设P(p,p-1)(在y=x-1上),则Q(p,-p2+2p+3). 当E(0,1)时, ∵EP=EQ, ∴(p-0)2+(p-1-1)2=(p-0)2+(-p2+2p+3-1)2, ∴p2+(p-2)2=p2+(p2-2p-2)2, (p-2)2=(p2-2p-2)2, ①当 p2-2p-2=p-2时, ∴p(p-3)=0, ∴p=0或3, 当p=0,P(0,-1),Q(0,3), 当p=3,P(3,2),Q(3,0), 过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q. ∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点, ∴x-1=-x2+2x+3, 解得:x1=,x2=, M的横坐标为,N点的横坐标为, ∴P点横坐标:大于等于小于等于, ∴P(3,2),Q(3,0)不符合要求舍去; ②p2-2p-2=-p+2, 整理得:p2-p-4=0, 解得:P1=,p2=, ∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点, ∴x-1=-x2+2x+3, 解得:x1=,x2=, M的横坐标为,N点的横坐标为, ∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q. ∴P点横坐标:大于等于小于等于, 当E(0,2)时, ∵EP=EQ, ∴(p-0)2+(p-1-2)2=(p-0)2+(-p2+2p+3-2)2, p2+(p-3)2=p2+(p2-2p-1)2, ∴(p-3)2=(p2-2p-1)2. ③当 p2-2p-1=p-3时, ∴(p-1)(p-2)=0 ∴p=1或2. 当p=1时,P(1,0),Q(1,4) 当p=2时,P(2,1),Q(2,3) ④p2-2p-1=-p+3 p2-p-4=0, 解得:P1=<-1,p2=>2, P(,)或(,). 综上所述,P点的坐标为:P(0,-1),P(1,0),P(2,1),P(,)或(,). ∵点P在线段MN上, ∴P点的坐标为:P(0,-1),P(1,0),P(2,1). |