如图，抛物线y=-x2+2mx+m+2的图象与x轴交于A（-1，0），B两点，在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E，F两点，E在F的左侧，过E，F分别

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线y=-x²+2mx+m+2的图象与x轴交于A（-1，0），B两点，在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E，F两点，E在F的左侧，过E，F分别作x轴的垂线，垂足是M，N．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）设BN=t，矩形EMNF的周长为C，求C与t的函数表达式；
（3）当矩形EMNF的周长为10时，将△ENM沿EN翻折，点M落在坐标平面内的点记为M"，试判断点M"是否在抛物线上？并说明理由．

答案

（1）由于抛物线过点A（-1，0），
于是将A代入y=-x²+2mx+m+2
得-1-2m+m+2=0，
解得m=1，
函数解析式为y=-x²+2x+3，
解析式可化为y=-（x-1）²+4，顶点纵坐标为（1，4）．

（2）因为函数解析式为y=-x²+2x+3，
所以当y=0时可得-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
则AB=3-（-1）=4．
又因为BN=t，M、N关于对称轴对称，
所以AM=t．于是MN=4-2t，
N点横坐标为3-t，代入抛物线得：y_F=-t²+4t．
于是C=2（4-2t）-2（t-2）²+8，
整理得C=-2t²+4t+8；

（3）当-2t²+4t+8=10时，解得t=1，MN=4-2t=4-2=2；
FN=-1²+4=3，因为t=1，所以M与O点重合，连接MM"、EN，
且MM"和E相交于K，根据反折变换的性质，MK=M"K．
根据同一个三角形面积相等，2×3=

22+32

•MK
于是MK=

6 13

13

，MM"=

12 13

13

作M"H⊥MN的延长线于H．
设NH=a，HM′=b，
于是在Rt△NHM"和RT△MHM"中，

a2+b2=4 (a+2)2+b2=( 16 13 13 )2

，
解得a=

10

13

，b=

24

13

．
于是MH=2+

10

13

=

36

13

．
M"点坐标为（

36

13

，

24

13

），
代入函数解析式y=-x²+2x+3，y=-x²+2x+3=-（

36

13

）²+2×

36

13

+3=

147

169

≠

24

13

，点M"不在抛物线上．