(1)
∵点M为抛物线的顶点, ∴MA=MB, 又∵△ABM是直角三角形, ∴△AMB是等腰直角三角形, ∵AB=2, ∴ME=1, 在Rt△OME中,可得OE==2, 故可得点M的坐标为(2,1). (2)∵AE=BE=AB=1,OE=2, ∴OA=1,OB=3, ∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0), 将点A、B、M的坐标代入抛物线解析式可得: | a+b+c=0 | 9a+3b+c=0 | 4a+2b+c=1 |
| | , 解得:, 故抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3. (3)设点P的坐标为(2,y), 则AC2=10,AP2=1+y2,CP2=4+(y+3)2, ①当∠PAC=90°时,AC2+AP2=CP2,即10+1+y2=4+(y+3)2, 解得:y=-, 即此时点P的坐标为(2,-); ②当∠PCA=90°时,AC2+CP2=AP2,即10+4+(y+3)2=1+y2, 解得:y=-, 即此时点P的坐标为(2,-); ③当∠APC=90°时,AP2+CP2=AC2,即1+y2+4+(y+3)2=10, 解得:y=-1或-2, 即此时点P的坐标为(2,-1)或(2,-2); 综上可得点P的坐标为(2,-)或(2,-)或(2,-1)或(2,-2). |