(1)作BD⊥x轴于D,如图, ∵AC=,A点坐标为(0,-2), ∴OC==1, ∴C点坐标为(-1,0); ∵△ABC为等腰直角三角形, ∴∠ACB=90°,BC=AC, ∴∠DCB+∠ACO=90°,∠DCB+∠DBC=90°, ∴∠DBC=∠ACO, ∴Rt△DBC≌Rt△OCA, ∴DC=OA=2,DB=OC=1, ∴OD=OC+CD=1+2=3, ∴B点坐标为(-3,-1); 故答案为(-1,0),(-3,-1); (2)把B(-3,-1)代入y=ax2+ax+2得(-3)2a-3a+2=-1,解得a=-, 抛物线的解析式为y=-x2-x+2; (3)存在.理由如下: ①过A点作P1A⊥AC,且AP1=AC=,则△ACP1为等腰直角三角形,再作P1E⊥y轴于E,如图, 与(1)一样可证得Rt△EAP1≌Rt△OCA, ∴P1E=OA=2,AE=OC=1, ∴OE=OA-AE=2-1=1, ∴P1点的坐标为(2,-1), 当x=2时,y=-x2-x+2=-×22-×2+2=-1, ∴P1点在抛物线上; ②过C点作P2C⊥CA,且CP2=AC=,则△ACP2为等腰直角三角形,再作P2F⊥x轴于F,如图, 与(1)一样可证得Rt△FCP2≌Rt△OCA, ∴P2F=OC=1,CF=OA=2, ∴OF=CF-OC=2-1=1, ∴P2点的坐标为(1,1), 当x=1时,y=-x2-x+2=-×12-×1+2=1, ∴P2点在抛物线上, ∴在抛物线上存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形.满足条件的点P的坐标为(2,-1)、(1,1).
|