如图已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（-2，0）．

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如图已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（-2，0）．问：直线AC上是否存在点F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）将点A（1，0）和点B（-3，0）代入抛物线解析式可得：

a+b+3=0

9a-3b+3=0

，
解得：

a=-1

b=-2

，
故所求抛物线解析式为：y=-x²-2x+3．

（2）存在符合条件的点P，

设直线AC的解析式为y=kx+m，
将点A及点C的坐标代入可得：

k+m=0

m=3

，
解得：

k=-3

m=3

，
故直线AC的解析式为y=-3x+3，
①当PD=PO时，此时点P位于P₁的位置，很明显P₁的坐标为（-1，6）；
②当OD=OP时，此时点P的一个位置为P₂，
设P₂的坐标为（x，-3x+3），
∵OD=OP=2，
∴

x2+(-3x+3)2

=2，
解得：x₁=

18+

，x₂=

18-

，
很明显此时P的坐标为（

18+

，

-54-

）或（

18-

，

-54+3

）．
综上可得点P的坐标为（-1，6）或（

18+

，

-54-

）或（

18-

，

-54+3

）．

举一反三

如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同

间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（　　）

A．0.4米

B．0.16米

C．0.2米

D．0.24米

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如图，张大爷要围成一个矩形ABCD花圃．花圃的一边AD利用足够长的墙，另三边恰好用总长为36米的篱笆围成．设AB的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
[参考公式：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当x=-

时，y最大(小)值=

4ac-b2

]．

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在直角坐标系中，⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E，F两点，与y轴

交于C、D两点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于B
（1）求直线BC的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为⊙A与x轴的交点，求抛物线的解析式；
（3）问C点是否在所求的抛物线上？

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如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=

，∠BAO=30度．将Rt△AOB折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过B，C，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由．

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如图，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线y=

相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，连结AB交y轴于点E，且S△BOE=

S△AOB（O为坐标原点）．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）过点A作直线平行于x轴交抛物线于另一点C．问在y轴上是否存在点P，使△POC与△OBE相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由；
（3）抛物线与x轴的负半轴交于点D，过点B作直线l∥y轴，点Q在直线l上运动，且点Q的纵坐标为t，试探索：当S_△AOB＜S_△QOD＜S_△BOC时，求t的取值范围．

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