已知:如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连结MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.(1)直接写出

已知:如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连结MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.(1)直接写出

题型:不详难度:来源:
已知:如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连结MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.
(1)直接写出点D的坐标;
(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连结OP.若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似,试求出点P的坐标.
答案
(1)∵四边形OCBA是矩形,
∴AB=OC=3,OA=BC=2,∠B=90°.
∵M是AB的中点,
∴AM=MB=
1
2
AB=
3
2

∵把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO,
∴DA=MB=
3
2
,∠DAO=∠B=90°,
∴点D的坐标为(-
3
2
,2);

(2)∵OC=3,BC=2,∴B(3,2).
∵抛物线经过原点,
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx(a≠0),
又抛物线经过点B(3,2)与点D(-
3
2
,2),





9a+3b=2
9
4
a-
3
2
b=2
,解得:





a=
4
9
b=-
2
3

∴抛物线的解析式为y=
4
9
x2-
2
3
x.
∵点P在抛物线上,
∴设点P的坐标为(x,
4
9
x2-
2
3
x).
分两种情况:
(i)若△PQO△DAO,则
PQ
DA
=
QO
AO

4
9
x2-
2
3
x
3
2
=
x
2
,解得:x1=0(舍去),x2=
51
16

∴点P的坐标为(
51
16
153
64
);
(ii)若△OQP△DAO,则
OQ
DA
=
PQ
AO

x
3
2
=
4
9
x2-
2
3
x
2
,解得:x1=0(舍去),x2=
9
2

∴点P的坐标为(
9
2
,6).
举一反三
如图,矩形ABCD的长、宽分别为3和2,OB=2,点E的坐标为(3,4)连接AE、ED.
(1)求经过A、E、D三点的抛物线的解析式.
(2)以原点为位似中心,将五边形ABCDE放大.
①若放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的2倍,请在网格中画出放大后的五边形A2B2C2D2E2,并直接写出经过A2、D2、E2三点的抛物线的解析式:______;
②若放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的k倍,请你直接写出经过Ak、Dk、Ek三点的抛物线的解析式:______(用含k的字母表示).
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附加题:如图所示,已知主桥拱为抛物线型,在正常水位下测得主拱宽24m,最高点离水面8m,以水平线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系.
(1)此桥拱线所在抛物线的解析式.
(2)桥边有一浮在水面部分高4m,最宽处12


2
m的鱼船,试探索此船能否开到桥下?说明理由.
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医药公司推出了一种抗感冒药,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.如图的二次函数图象(部分)表示了该公司年初以来累积利润S(万元)与时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).
根据图象提供信息,解答下列问题:
(1)公司从第几个月末开始扭亏为盈;
(2)累积利润S与时间t之间的函数关系式;
(3)求截止到几月末公司累积利润可达30万元;
(4)求第8个月公司所获利是多少元?
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如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为Α(1,0),B(3,0),
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设此抛物线的顶点为D,与y轴的交点为C,试求四边形ΑBCD的面积.
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如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、E(5,0)两点,与y轴交于点B(0,5).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.
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