(1)由y=ax2-2ax+c-1=a(x-1)2+c-1-a得抛物线的顶点为 A(1,c-1-a). ∵点A在直线y=-x+8上, ∴c-1-a=-×1+8, 即c=a+,① 又抛物线与x轴相交于B(α,0)、C(β,0)两点, ∴α、β是方程ax2-2ax+c-1=0的两个根. ∴α+β=2,αβ=, 又α2+β2=10,即(α+β)2-2αβ=10, ∴4-2×=10, 即c=1-3a②, 由①②解得:a=-,c=5, ∴y=-x2+x+4, 此时,抛物线与x轴确有两个交点, 答:这个抛物线解析式为:y=-x2+x+4.
(2)由抛物线y=-x2+x+4, 令x=0,得y=4,故P点坐标为(0,4), 令y=0,解得x1=-1,x2=3, ∵α<β,∴B(-1,0),C(3,0), ∴BC=4,又由OC=3,OP=4,得PC=5,sin∠BCP==, ∵BH=t,∴HC=4-t. ∵HK∥BP,=,=, ∴PK=t 如图,过H作HG⊥PC于G,则HG=HC, sin∠BCP=(4-t)•=(4-t), ∴S=×t×(4-t)=t2+2t, ∵点H在线段BC上且HK∥BP,∴0<t<4. ∴所求的函数式为:S=-t2+2t(0<t<4), 答:将S表示成t的函数为S=-t2+2t(0<t<4).
(3)由S=-t2+2t=-(t-2)2+2(0<t<4),知: 当t=2(满足0<t<4)时,S取最大值,其值为2, 此时,点H的坐标为(1,0), ∵HK∥PB,且H为BC的中点, ∴K为PC的中点, 作KK′⊥HC于K′, 则KK′=PO=2,OK′=CO=, ∴点K的坐标为(,2), 设所求直线的解析式为y=kx+b,则 , ∴ 故所求的解析式为y=4x-4, 答S的最大值是2,S取最大值时过H、K两点的直线的解析式是y=4x-4. |