(1)∵抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(-4,0)、B(3,0)两点, ∴,解得, ∴抛物线的解析式为y=x2+x-4;
(2)如图,设点P的坐标为(m,m2+m-4),则-4<m<0,m2+m-4<0.连接OP. ∵S四边形ABCP=S△AOP+S△COP+S△BOC =×4(-m2-m+4)+×4(-m)+×4×3 =-m2-m+14 =-(m+2)2+, ∴当m=-2时,四边形ABCP的面积最大,最大值为,此时点P的坐标为(-2,-);
(3)存在这样的点M、N,能够使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形.理由如下: ∵OB=3,OC=4,∠BOC=90°, ∴BC==5. 设M点的坐标为(-,y),分两种情况讨论: (i)以BC为边长时, 如果四边形CBMN是菱形,那么BM=BC, 即(3+)2+y2=25,解得y=±, 即存在M(-,)或(-,-),能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形; 如果四边形BCMN是菱形,那么CM=BC, 即(0+)2+(y+4)2=25, 整理,得4y2+32y-35=0,解得y=-4±, 即存在M(-,-4+)或(-,-4-),能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形; (ii)以BC为对角线时,四边形MCNB是菱形,则BM=CM, 即(3+)2+y2=(0+)2+(y+4)2,解得y=-, 即存在M(-,-),能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形; 综上可知,存在这样的点M、N,使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形,此时点M的坐标为:M1(-,),M2(-,-4+),M3(-,-),M4(-,-4-), M5(-,-). |