如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、

题型：不详难度：来源：

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

答案

（1）B（-1，0）E（0，4）C（4，0）设解析式是y=ax²+bx+c，
可得

a-b+c=0

c=4

16a+4b+c=0

，
解得

a=-1

b=3

c=4

，
∴y=-x²+3x+4；

（2）△BDC是直角三角形，
∵BD²=BO²+DO²=5，DC²=DO²+CO²=20，BC²=（BO+CO）²=25
∴BD²+DC²=BC²，
∴△BDC是直角三角形．
点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2），
设直线AD的解析式是y=kx+b，则

-2k+b=0

b=2

，
解得：

k=1

b=2

，
则直线AD的解析式是y=x+2，
设点P坐标是（x，x+2）
当OP=OC时x²+（x+2）²=16，
解得：x=-1±

（x=-1-

不符合，舍去）此时点P（-1+

，1+

）
当PC=OC时（x+2）²+（4-x）²=16，方程无解；
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，
∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4）；
∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（-1+

，1+

）或（2，4）；

（3）点M坐标是（

，

)，点N坐标是（

，

），∴MN=

，
设点P为（x，x+2），Q（x，-x²+3x+4），则PQ=-x²+2x+2
①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x₁=0.5，x₂=1.5
当x₂=1.5时，点P与点M重合；当x₁=0.5时，可求得PM=

，所以菱形不存在．
②能成为等腰梯形，作QH⊥MN于点H，作PJ⊥MN于点J，则NH=MJ，
则

-（-x²+3x+4）=x+2-

，
解得：x=2.5，
此时点P的坐标是（2.5，4.5）．

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²-（m-1）x+m²-6交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位置关系；
（3）设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

题型：不详难度：| 查看答案

题型：难度：| 查看答案

已知抛物线y=x²+bx+c的部分图象；如图
（1）求该抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标；
（3）观察图象指出，当x分别取何值时，有y＞0，y＜0；
（4）若抛物线与x轴的交点分别为点A与点B（A在B左侧），在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使S_△PAB=8？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

已知关于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案