如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线

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如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)分别求出图中直线和抛物线的函数表达式;
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设直线BC的解析式为:y=mx+n,有:





3m+n=0
n=-3

解得:m=1,n=-3;
∴直线BC:y=x-3.
将点B、C的坐标代入y=x2+bx+c中,得:





9+3b+c=0
c=-3

解得:b=-2,c=-3;
∴抛物线:y=x2-2x-3.

(2)由于菱形的对角线互相垂直平分,所以点P必在OC的垂直平分线上,则点P的纵坐标为-
3
2
,代入抛物线y=x2-2x-3中,得:
-
3
2
=x2-2x-3,
解得 x1=
2+


10
2
,x2=
2-


10
2
(舍去)
∴点P(
2+


10
2
,-
3
2
).
举一反三
已知关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)若二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,求k值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙A的半径为3,A点的坐标为(2,0),C、E分别是⊙A与y轴、x轴的交点,过C点作⊙A的切线BC交x轴于点B.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c经过B、A两点,且顶点在直线BC上,求此抛物线的顶点的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点P,使△PCE和△CBE相似?若存在,请你求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;
(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.
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某商场销售一种成本为每千克40元的水产品.据市场分析,按每千克50元销售,一个月能售出500千克;在此基础上,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,求月销售利润.
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式(不写处x的取值范围).
(3)商场销售此产品时,要想每月成本不超过10000元,且月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少元?
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(t007•呼伦贝尔)某车间有t0名工人,每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个,每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利t4元.现要求加工甲种零件的人数不少于加工乙种零件人数的t倍,设每天所获利润为y元,那么多少人加工甲种零件时,每天所获利润最大,每天所获最大利润是多少元?
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