已知关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;(2)若二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的图象与x轴两个交
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已知关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0. (1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根; (2)若二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,求k值; (3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围. |
答案
(1)证明:①当k=0时,方程为x+3=0,所以x=-3,方程有实数根, ②当k≠0时,△=(3k+1)2-4k•3, =9k2+6k+1-12k, =9k2-6k+1, =(3k-1)2≥0, 所以,方程有实数根, 综上所述,无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)令y=0,则kx2+(3k+1)x+3=0, 解关于x的一元二次方程,得x1=-3,x2=-, ∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数, ∴k=1;
(3)由(2)得抛物线的解析式为y=x2+4x+3, 配方得y=(x+2)2-1, ∴抛物线的顶点M(-2,-1), ∴直线OD的解析式为y=x, 于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h,h), ∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h)2+h, ①当抛物线经过点C时,令x=0,则y=9, ∴C(0,9), ∴h2+h=9, 解得h=, ∴当≤h<时,平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点; ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时, 由方程组, 消掉y得,x2+(-2h+2)x+h2+h-9=0, ∴△=(-2h+2)2-4(h2+h-9)=0, 解得h=4, 此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意, 综上所述:平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的值或取值范围是h=4或≤h<. |
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙A的半径为3,A点的坐标为(2,0),C、E分别是⊙A与y轴、x轴的交点,过C点作⊙A的切线BC交x轴于点B. (1)求直线BC的解析式; (2)若抛物线y=ax2+bx+c经过B、A两点,且顶点在直线BC上,求此抛物线的顶点的坐标; (3)在x轴上是否存在一点P,使△PCE和△CBE相似?若存在,请你求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标; (3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.
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某商场销售一种成本为每千克40元的水产品.据市场分析,按每千克50元销售,一个月能售出500千克;在此基础上,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题: (1)当销售单价定为每千克55元时,求月销售利润. (2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式(不写处x的取值范围). (3)商场销售此产品时,要想每月成本不超过10000元,且月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少元? |
(t007•呼伦贝尔)某车间有t0名工人,每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个,每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利t4元.现要求加工甲种零件的人数不少于加工乙种零件人数的t倍,设每天所获利润为y元,那么多少人加工甲种零件时,每天所获利润最大,每天所获最大利润是多少元? |
(6)一辆宽6m的货车要通过跨度为8m、拱高为4m的单行抛物线隧道(从正中通过),为了保证安全,车顶离隧道顶部至少要t.6m的距离,货车的限高为多少? (6)若将(6)中的单行道改为双行道,即货车必须从隧道中线的右侧通过,货车的限高应是多少?
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