如图,将一块含30°角的学生用三角板放在平面直角坐标系中,使顶点A、B分别放置在y轴、x轴上,已知AB=2,∠ABO=∠ACB=30°.(1)求点A、B、C的坐

如图,将一块含30°角的学生用三角板放在平面直角坐标系中,使顶点A、B分别放置在y轴、x轴上,已知AB=2,∠ABO=∠ACB=30°.(1)求点A、B、C的坐

题型:不详难度:来源:
如图,将一块含30°角的学生用三角板放在平面直角坐标系中,使顶点A、B分别放置在y轴、x轴上,已知AB=2,∠ABO=∠ACB=30°.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线解析式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?若不存在,请说明理由;若存在,请你求出点P的坐标.
答案
(1)在Rt△AOB中,∠ABO=30°,AB=2,
则OA=1,OB=


3

∴点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(


3
,0),
在Rt△ABC中,AB=2,∠ACB=30°,
则BC=ABcot∠ACB=2


3

过点C作CD⊥x轴于点D,如图所示:

在Rt△BCD中,∠CBD=60°,BC=2


3

则BD=BCsin∠BCD=


3
,CD=


3
BD=3,
故点C的坐标为(2


3
,3).
综上可得点A(0,1),点B(


3
,0),点C(2


3
,3).

(2)设y=ax2+bx+1,
将B(


3
,0),C(2


3
,3)代入可得:





3a+


3
b+1=0
12a+2


3
b+1=3

解得:





a=
2
3
b=-


3

故抛物线解析式为:y=
2
3
x2-


3
x+1.
(3)①当点P与点C重合时,很明显△PAB的面积等于△ABC,此时点P的坐标为(2


3
,3).

②点P与点C不重合时,设直线AB解析式为y=kx+1,
将B(


3
,0)代入可得:


3
k+1=0,
解得:k=-


3
3

∴y=-


3
3
x+1,
过点C作直线AB的平行线,则与抛物线交点为点P的位置,

设直线CP的解析式为y=-


3
3
x+m,
将C(2


3
,3)代入可得:3=-


3
3
×2


3
+m,
解得:m=5,
∴直线CP的解析式为y=-


3
3
x+5,
联立抛物线与直线CP的解析式:





y=-


3
3
x+5
y=
2
3
x2-


3
x+1

解得:





x1=2


3
y1=3





x2=-


3
y2=6

故此时点P的坐标为(-


3
,6).
综上可得点P的坐标为(2


3
,3)或(-


3
,6).
举一反三
已知抛物线y=-
1
2
x2+bx+4
与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,已知A点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,连接AB,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.
(3)若抛物线y=-
1
2
x2+bx+4
上有一点F(-k-1,-k2+1),当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F?
题型:不详难度:| 查看答案
如图,梯形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,AB⊥OA,二次函数
y=mx2-mx+2的图象经过A、B、C三点.
(1)求点A、B的坐标;
(2)当AC⊥OB时,求二次函数的解析式.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,利用两面夹角为135°且足够长的墙,围成梯形围栏ABCD,∠C=90°,新建墙BCD总长为15m,则当CD=______m时,梯形围栏的面积最大.
题型:不详难度:| 查看答案
已知:如图,在平面直角坐标系中,半径为2


2
的⊙O′与y轴交于A、B两点,与直线OC相切于点C,∠BOC=45°,BC⊥OC,垂足为C.
(1)判断△ABC的形状;
(2)在
BC
上取一点D,连接DA、DB、DC,DA交BC于点E.求证:BD•CD=AD•ED;
(3)延长BC交x轴于点G,求经过O、C、G三点的二次函数的解析式.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,两条抛物线y1=-
1
2
x2+1,y2=-
1
2
x2-1
与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(  )
A.8B.6C.10D.4

题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.