(1)根据题意,得 △=(m-2)2-4××(2m-6) =(m-4)2, ∵无论m为任何数时,都有(m-4)2≥0,即△≥0. ∴无论m取任何实数,方程都有两个实数根; (2)由题意,得 当y=0时,则x2+(m-2)x+2m-6=0, 解得:x1=6-2m,x2=-2, ∵m<3,点A在点B的左侧, ∴A(-2,0),B(-2m+6,0), ∴OA=2,OB=-2m+6. 当x=0时,y=2m-6, ∴C(0,2m-6), ∴OC=-(2m-6)=-2m+6. ∵2AB=3OC, ∴2(2-2m+6)=3(-2m+6), 解得:m=1; (3)如图,当m=1时,抛物线的解析式为y=x2-x-4, 点C的坐标为(0,-4). 当直线y=x+b经过点C时,可得b=-4, 当直线y=x+b(b<-4)与函数y=x2-x-4(x>0)的图象只有一个公共点时,得 x+b═x2-x-4. 整理得:3x2-8x-6b-24=0, ∴△=(-8)2-4×3×(-6b-24)=0, 解得:b=-. 结合图象可知,符合题意的b的取值范围为b>-4或b<-. |