如图，已知抛物线y=12x2-2x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=

1

2

x²-2x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连接O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S_△DQC=S_△DPB？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）配方，得y=

1

2

（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P（2，-1）．（1分）
取x=0代入y=

1

2

x²-2x+1，
得y=1，
∴点A的坐标是（0，1）．
由抛物线的对称性知，点A（0，1）与点B关于直线x=2对称，
∴点B的坐标是（4，1）．（2分）
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将B、P的坐标代入，
有

1=4k+b -1=2k+b

，
解得

k=1 b=-3

∴
∴直线l的解析式为y=x-3．（3分）

（2）连接AD交O′C于点E，
∵点D由点A沿O′C翻折后得到，
∴O′C垂直平分AD．
由（1）知，点C的坐标为（0，-3），
∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，
∴O′C=2

5

．
据面积关系，有

1

2

×O′C×AE=

1

2

×O′A×CA，
∴AE=

4

5

5

，AD=2AE=

8

5

5

．
作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，
∴

AF

AC

=

DF

O′A

=

AD

O′C

，
∴AF=

AD

O′C

•AC=

16

5

，DF=

AD

O′C

•O′A=

8

5

，（5分）
又∵OA=1，
∴点D的纵坐标为1-

8

5

=-

3

5

，
∴点D的坐标为（

16

5

，-

3

5

）．（6分）

（3）显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，
∴点P是线段BC的中点，
∴S_△DPC=S_△DPB．
故要使S_△DQC=S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC．（7分）
过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S_△DPC，
故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
容易求得过点C（0，-3）、D（

16

5

，-

3

5

）的直线的解析式为y=

3

4

x-3，
据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=

3

4

x-

5

2

．
令

1

2

x²-2x+1=

3

4

x-

5

2

，
解得x₁=2，x₂=

7

2

，
代入y=

3

4

x-

5

2

，得y₁=-1，y₂=

1

8

，
因此，抛物线上存在两点Q₁（2，-1）（即点P）和Q₂（

7

2

，

1

8

），使得S_△DQC=S_△DPB．（9分）
（仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分）