我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx(a≠0)(1)对于这样的抛物线:当顶点坐标为(1,1)时,a=______;当顶点坐标为(m,m),m
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我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx(a≠0) (1)对于这样的抛物线: 当顶点坐标为(1,1)时,a=______; 当顶点坐标为(m,m),m≠0时,a与m之间的关系式是______ (2)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k的代数式表示b; (3)现有一组过原点的抛物线,顶点A1,A2,…,An在直线y=x上,横坐标依次为1,2,…,n(为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn,若这组抛物线中有一条经过Dn,求所有满足条件的正方形边长. |
答案
(1)∵顶点坐标为(1,1), ∴, 解得,, 即当顶点坐标为(1,1)时,a=-1; 当顶点坐标为(m,m),m≠0时,, 解得, 则a与m之间的关系式是:a=-或am+1=0. 故答案是:-1;a=-或am+1=0.
(2)∵a≠0, ∴y=ax2+bx=a(x+)2-, ∴顶点坐标是(-,-). 又∵该顶点在直线y=kx(k≠0)上, ∴k(-)=-. ∵b≠0, ∴b=2k;
(3)∵顶点A1,A2,…,An在直线y=x上, ∴可设An(n,n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t). 由(1)(2)可得,点Dn所在的抛物线解析式为y=-x2+2x. ∵四边形AnBnCnDn是正方形, ∴点Dn的坐标是(2n,n), ∴-(2n)2+2•2n=n, ∴4n=3t. ∵t、n是正整数,且t≤12,n≤12, ∴n=3,6或9. ∴满足条件的正方形边长是3,6或9. |
举一反三
某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形.其中,抽屉底面周长为180cm,高为20cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计). |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中实数a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0. (1)求证:两函数的图象相交于不同的两点A、B; (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1长的取值范围. |
某公司营销A、B两种产品,根据市场调研,发现如下信息: 信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6. 信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x. 根据以上信息,解答下列问题; (1)求二次函数解析式; (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少? |
某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系. (1)试求y与x之间的函数关系式; (2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少? |
抛物线y=ax2与直线y=-2x交于(1,m),则a=______. |
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