已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2).(1)若a=1,抛物线顶点为A,它与x轴交于两点B,C,且△ABC为等边三角形,求b的值;(2)若abc=4,且

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2).(1)若a=1,抛物线顶点为A,它与x轴交于两点B,C,且△ABC为等边三角形,求b的值;(2)若abc=4,且

题型:不详难度:来源:
已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2).
(1)若a=1,抛物线顶点为A,它与x轴交于两点B,C,且△ABC为等边三角形,求b的值;
(2)若abc=4,且a≥b≥c,求|a|+|b|+|c|的最小值.
答案
(1)由题意,a+b+c=2,
∵a=1,
∴b+c=1
抛物线顶点为A(-
b
2
,c-
b2
4

设B(x1,0),C(x2,0),
∵x1+x2=-b,x1x2=c,△=b2-4c>0
∴|BC|=|x1-x2|=


|x1-x2|2
=


(x1+x2)2-4x1x2
=


b2-4c

∵△ABC为等边三角形,
b2
4
-c=


3
2


b2-4c

即b2-4c=2


3


b2-4c

∵b2-4c>0,


b2-4c
=2


3

∵c=1-b,
∴b2+4b-16=0,b=-2±2


5

所求b值为-2±2


5


(2)∵a≥b≥c,若a<0,则b<0,c<0,a+b+c<0,与a+b+c=2矛盾.
∴a>0.
∵b+c=2-a,bc=
4
a

∴b,c是一元二次方程x2-(2-a)x+
4
a
=0的两实根.
∴△=(2-a)2-4×
4
a
≥0,
∴a3-4a2+4a-16≥0,即(a2+4)(a-4)≥0,故a≥4.
∵abc>0,
∴a,b,c为全大于0或一正二负.
①若a,b,c均大于0,
∵a≥4,与a+b+c=2矛盾;
②若a,b,c为一正二负,则a>0,b<0,c<0,
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2,
∵a≥4,
故2a-2≥6
当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使不等式等号成立.
故|a|+|b|+|c|的最小值为6.
举一反三
已知抛物线y=8x2+10x+1
(1)试判断抛物线与x轴交点情况;
(2)求此抛物线上一点A(-1,-1)关于对称轴的对称点B的坐标;
(3)是否存在一次函数与抛物线只交于B点?若存在,求出符合条件的一次函数的解析式;若不存在,请说明理由.
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在某次数字变换游戏中,我们把整数O,1,2.…,100称为“旧数”,游戏的变换规则是:将旧数先平方,再除以100,所得到的数称为“新数”.
(1)请把旧数80利26按照上述规则变换为新数;
(2)经过上述规则变换后,我们发现许多旧数变小了.有人断言:“按照上述变换规则,所有的新数都不等于它的旧数.”你认为这种说法对吗?若不对,请求出所有不符合这一说法的旧数;
(3)请求出按照上述规则变换后减小了最多的旧数(要写出解答过程).
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已知一次函数y=kx+m,二次函数y=2ax2+2bx+c和y=ax2+bx+c-1的图象分别为l、E1、E2,l交E1于B、C两点,且满足下列条件:
I)b为整数.
II)B(2-2


2
,3-2


2
),C(2+2


2
,3+2


2
).
Ⅲ)两个二次函数的最小值差为1.
(1)如l与E2交于A、D两点,求|AD|值.
(2)问是否存在一点P,从P出发作一射线分别交E1、E2于P1,P2,使得PP1:PP2为常数,并简述你的理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知二次函数y=ax2+bx+c,对任意实数x都有x≤ax2+bx+c≤(
x+1
2
)
2
成立.
(1)当x=1时,求y的值;
(2)若当x=-1时,y=0,求a、b、c的值.
题型:不详难度:| 查看答案
用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园.
(1)当扇形花园的半径为6m时,求扇形花园的面积;
(2)设扇形花园的半径为x(m),面积为y(m2),求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)当扇形花园的半径为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少?此时,这个扇形的圆心角约是多少度?(精确到0.1度)
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